张量计算、弹性力学与有限元法解析

1、对于给定的矩阵/向量对，计算以下量：aii、aijaij、aijajk、aijbj、aijbibj、bibj、bibi。对于每种情况，指出结果是标量、向量还是矩阵。注意，aijbj实际上是矩阵乘积[a]{b}，而aijajk是乘积[a][a]。(a) aij ＝ [1 1 0; 0 4 2; 0 1 1]，bi ＝ [0; 1; 2] (b) aij ＝ [1 2 0; 0 1 1; 0 4 2]，bi ＝ [2; 1; 0] (c) aij ＝ [1 0 1; 1 0 2; 0 1 3]，bi ＝ [1; 0; 1] (d) aij ＝ [1 0 0; 0 2 1; 0 2 0]，bi ＝ [2; 0; 1]

计算规则如下：

• aii 为矩阵对角元素之和，是标量；
• aijaij 为矩阵元素平方和，是标量；
• aijajk 是矩阵相乘，结果是矩阵；
• aijbj 是矩阵与向量相乘，结果是向量；
• aijbibj 是经过一系列运算的标量；
• bibj 是向量运算结果，是矩阵；
• bibi 是向量元素平方和，是标量。

2、证明二阶张量$ad_{ij}$（其中$a$为任意常数，$d_{ij}$为克罗内克符号）在任何正交变换$Q_{ij}$下保持其形式不变。这种形式即为各向同性二阶张量。

根据张量变换规则，二阶张量变换公式为
$$
a_{ij}’ = Q_{ip}Q_{jq}a_{pq}
$$

对于二阶张量 $ ad_{ij} $，变换后为
$$
a_{ij}’ = Q_{ip}Q_{jq}(ad_{pq}) = aQ_{ip}Q_{jq}d_{pq}
$$

根据克罗内克符号性质
$$
Q_{i