多排列的最大逆序数问题

[题目]

题目链接：Minimum Inversion Number

[分析]

首先介绍一下逆序数的概念：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。

应用线段树数据结构，将复杂度降到$O(nlogn)$，首先求初始状态下的逆序数。在构造完线段树后（见下面程序中的build()函数），根据输入的数据x，累加区间[x,n]（也即已经输入的并且比x大的数的个数）的和，然后更新对应叶节点的值，由0变为1，表示这个数已经输入，并递归更新父节点（等于左右儿子节点值得和）。

在求出初始状态下的逆序数num后，在每次将第一个数移动到最后的过程中，逆序数的变化有一下递推公式：

$$num = num-input[i]+(n-input[i]-1)$$
其中num为初始状态下的逆序数，input为输入的数组，n为输入数据的总数。

AC的代码如下:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define MAX 5010
int tree[MAX<<2];
int input[MAX];

void build(int l, int r, int rt){
    if(l == r){
        tree[rt] = 0;
        return;
    }
    int m = (l+r)/2;
    build(l,m,rt<<1);
    build(m+1,r,(rt<<1)+1);
    tree[rt] = 0;
}

void update(int p, int l, int r, int rt){
    if(l == r){
        tree[rt]=1;
        return;
    }
    int m = (l+r)/2;
    if(p<=m)
        update(p,l,m,rt<<1);
    else
        update(p,m+1,r,(rt<<1)+1);
    tree[rt] = tree[rt<<1] + tree[(rt<<1)+1];
}

int getSum(int L, int R, int l, int r, int rt){
    if(L<=l && r <=R)
        return tree[rt];
    int ret = 0;
    int m = (l+r)/2;
    if(L<=m)
        ret += getSum(L,R,l,m,rt<<1);
    if(R>m)
        ret += getSum(L,R,m+1,r,(rt<<1)+1);
    return ret;
}

int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int n;
    while(scanf("%d",&n) != EOF){
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        int ans = 0;
        for(int i=0; i<n; i++){
            scanf("%d",&input[i]);
            ans += getSum(input[i]+1,n,1,n,1);
            update(input[i]+1,1,n,1);
        }
        int num = ans;
        for(int i=0; i<n-1; i++){
            num = num-input[i]+(n-input[i]-1);
            if(num < ans)
                ans = num;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
} 

使用树状数组数据结构会更加方便，AC代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define MAX 5010
int tree[MAX<<2];
int input[MAX];
int n;

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
} 

void update(int i){
    while(i<=n){
        tree[i]++;
        i += lowbit(i);
    }
}

int getSum(int i){
    int s=0;
    while(i>0){
        s += tree[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return s;
}

int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n) != EOF){
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        int ans = 0;
        for(int i=0; i<n; i++){
            scanf("%d",&input[i]);
            ans = ans + getSum(n) - getSum(input[i]+1);
            update(input[i]+1);
        }
        int num = ans;
        for(int i=0; i<n-1; i++){
            num = num-input[i]+(n-input[i]-1);
            if(num < ans)
                ans = num;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}