概率论的基本概念

从$m$个不同元素中取出$n(n\le m)$个元素（被取出的元素各不相同），并按照一定的顺序排成一列（一般顺序是抽取出来的顺序），叫做从$m$个不同元素中取出$n$个元素的一个排列，记作$A(m,n)$
$$A(m,n)=A_m^n=\frac{m!}{(m-n)!}$$
从$m$个不同元素中取出$n(n\le m)$个元素的所有组合的个数，叫做从$m$个不同元素中取出$n$个元素的组合数，记作$C(m,n)$
$$C(m,n)=C_m^n=\frac{m!}{(m-n)!\cdot n!}$$

古典概型
概率是以假设为基础，即假定随机现象所发生的事件是有限的、互不相容的，而且每个基本事件发生的可能性相等。一般来讲，如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件$A$的基本事件有$a$，不构成事件$A$的有$b$个，那么事件$A$出现的概率为：
$$P(A)=\frac{a}{a+b}$$
概率体现的是随机事件$A$发生可能的大小度量（数值）

联合概率：表示两个事件共同发生的概率，事件$A$和事件$B$的共同概率记作：$P(AB)$、$P(A,B)$或者$P(A\bigcap B)$，读作事件$A$和事件$B$同时发生的概率
条件概率：事件$A$在另外一个事件$B$已经发生的条件下的发生概率叫做条件概率，表示为$P(A|B)$，读作在$B$条件下$A$发生的概率
$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$
将条件概率公式由两个事件推广到任意又穷多个事件时，可以得到如下公式，假设$A_1,A_2,\cdots ,A_n$为$n$个任意事件$(n\ge 2)$，而且$P(A_1{A}_2\cdots A_n)>0$，则：
$$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})$$
全概率公式：样本空间$\Omega$有一组事件$A_1,A_2,\cdots ,A_n$，如果事件组满足下列两个条件，那么事件组称为样本空间的一个划分：
$$\forall i\ne j\in 1,2,\cdots ,n，A_i{A}_j\ne \varnothing$$
$$A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots \bigcup A_n=\Omega$$
设事件$A_i$是样本空间$\Omega$的一个划分，且$P(A_i)>0$，那么对于任意事件$B$，全概率公式为：
$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$$
贝叶斯公式：
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
设$A_1,A_2,\cdots ,A_n$是样本空间$\Omega$的一个划分，如果对于任意事件$B$，有$P(B)>0$，那么：
$$P(A_i|B)=\frac{P(B{A}_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)\cdot P(B|A_i)}{{\sum }_{j=1}^n(A_j)\cdot P(B|A_j)}$$