本文深入探讨了LeetCode中位数问题的多种解法，重点介绍了二分查找法的高效实现，包括复杂度分析、算法优化及边界条件处理，详细解释了每一步背后的原理与逻辑。
转自：http://blog.youkuaiyun.com/yutianzuijin/article/details/11499917/
这是我做的第二个leetcode题目，一开始以为和第一个一样很简单，但是做的过程中才发现这个题目非常难，给人一种“刚上战场就踩上地雷挂掉了”的感觉。后来搜了一下leetcode的难度分布表（leetcode难度及面试频率）才发现，该问题是难度为5的问题，真是小看了它！网上搜了很多答案，但是鲜见简明正确的解答，唯有一种寻找第k小值的方法非常好，在此整理一下。
首先对leetcode的编译运行吐槽一下：貌似没有超时判断，而且small和large的数据集相差很小。此题一开始我采用最笨的方法去实现，利用排序将两个数组合并成一个数组，然后返回中位数：
class Solution {public:double findMedianSortedArrays ( int A [], int m , int B [], int n ) {// Start typing your C/C++ solution below// DO NOT write int main() functionint * a = new int [ m + n ];memcpy ( a , A , sizeof ( int ) * m );memcpy ( a + m , B , sizeof ( int ) * n );sort ( a , a + n + m );double median = ( double ) (( n + m ) % 2 ? a [( n + m ) >> 1 ] : ( a [( n + m - 1 ) >> 1 ] + a [( n + m ) >> 1 ]) / 2.0 );delete a ;return median ;}};
该方法居然也通过测试，但是其复杂度最坏情况为O(nlogn)，这说明leetcode只对算法的正确性有要求，时间要求其实不严格。
另一种方法即是利用类似merge的操作找到中位数，利用两个分别指向A和B数组头的指针去遍历数组，然后统计元素个数，直到找到中位数，此时算法复杂度为O(n)。之后还尝试了根据算法导论中的习题（9.3-8）扩展的方法，但是该方法会存在无穷多的边界细节问题，而且扩展也不见得正确，这个可从各网页的评论看出，非常不建议大家走这条路。
最后从medianof two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。
首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。
证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。
当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。
当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)
通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：
- 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
- 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
- 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；
最终实现的代码为：
double findKth ( int a [], int m , int b [], int n , int k ){//always assume that m is equal or smaller than nif ( m > n )return findKth ( b , n , a , m , k );if ( m == 0 )return b [ k - 1 ];if ( k == 1 )return min ( a [ 0 ], b [ 0 ]);//divide k into two partsint pa = min ( k / 2 , m ), pb = k - pa ;if ( a [ pa - 1 ] < b [ pb - 1 ])return findKth ( a + pa , m - pa , b , n , k - pa );else if ( a [ pa - 1 ] > b [ pb - 1 ])return findKth ( a , m , b + pb , n - pb , k - pb );elsereturn a [ pa - 1 ];}class Solution{public:double findMedianSortedArrays ( int A [], int m , int B [], int n ){int total = m + n ;if ( total & 0x1 )return findKth ( A , m , B , n , total / 2 + 1 );elsereturn ( findKth ( A , m , B , n , total / 2 )+ findKth ( A , m , B , n , total / 2 + 1 )) / 2 ;}};
我们可以看出，代码非常简洁，而且效率也很高。在最好情况下，每次都有k一半的元素被删除，所以算法复杂度为logk，由于求中位数时k为（m+n）/2，所以算法复杂度为log(m+n)。
ps 自己写的
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector
& nums1, vector
& nums2) {
int sumSize = nums1.size()+nums2.size();
if ( sumSize & 0x1 )
{
return get_KthNumber(nums1,0,nums2,0,sumSize/2+1);
}
else
{
return (get_KthNumber(nums1,0,nums2,0,sumSize/2+1)+get_KthNumber(nums1,0,nums2,0,sumSize/2))/2;
}
};
private:
double get_KthNumber(vector
& nums1,int start1, vector
&nums2,int start2,int k)
{
//cout<<"line 20 start1:"<
<<"\tstart2:"<
<<"\tk:"<
<
count2 ) { return get_KthNumber(nums2,start2,nums1,start1,k); } if(count1==0) return nums2[start2+k-1];//1:一个为空时退出 if(k==1)///2:一定要有，不然递归到k=0，一直递归下去，k=1时退出 return min(nums1[start1],nums2[start2]); int i1 = min( k/2,count1); int i2 = k-i1; if( nums1[ start1+ i1-1] > nums2[ start2+ i2-1] ) { return get_KthNumber( nums1,start1,nums2,start2+i2,k-i2); } else if( nums1[ start1+ i1-1] < nums2[ start2+ i2-1]) { return get_KthNumber(nums1,start1+i1,nums2,start2,k-i1); } else return nums1[start1+ i1-1] ;//3: }; };
java刷的，自己写还是各种边界越界问题
public class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int tal=nums1.length+nums2.length;
if(tal%2==1){
return findKthFromSortedArrays(nums1,0,nums2,0,tal/2+1);
}else{
return findKthFromSortedArrays(nums1,0,nums2,0,tal/2+1)/2+findKthFromSortedArrays(nums1,0,nums2,0,tal/2)/2;
}
}
//第k小，k从1开始
public double findKthFromSortedArrays(int[] nums1,int start1,int[] nums2,int start2,int kth){
if(nums1.length-start1>nums2.length-start2)
return findKthFromSortedArrays(nums2,start2,nums1,start1,kth);
if(start1==nums1.length)
return nums2[start2+kth-1];
if(kth==1)
return nums1[start1]<nums2[start2]?nums1[start1]:nums2[start2];
//比实际多1
int partleft=Math.min( kth/2,nums1.length-start1);
int partright=kth-partleft;//比实际多1
if(nums1[start1+partleft-1]<nums2[start2+partright-1]){
return findKthFromSortedArrays(nums1,start1+partleft,nums2,start2,kth-partleft);
}
else if(nums1[start1+partleft-1]==nums2[start2+partright-1]){
return nums1[start1+partleft-1];
}
else{
return findKthFromSortedArrays(nums1,start1,nums2,start2+partright,kth-partright);
}
}
}
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