LeetCode_median-of-two-sorted-arrays

本文介绍了一种在O(log(m+n))的时间复杂度内找到两个已排序数组中位数的方法。通过查找倒数第k个元素的方式避免了完整的数组合并,适用于求解任意倒数第k个元素。

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题目描述:There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

思路:要找出两个排序数组的中位数,如果对两个数组进行合并再处理的话,就一定是O(log(m+n))+X ,所以是不行的,所以我们考虑找出 倒数第k个数,而这个k是总长度的一半。详细的过程直接看代码。这个方法可以扩展到求倒数第k个数(如果大于一半,则可以转为求顺数第len-k个数);

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
        int len=A.length+B.length;
        int left=(len+1)/2;//len为奇数的时候,则为中位数  len为偶数的时候 中间靠左的这个数
        int right=(len+2)/2;//len 为奇数的时候。则为中间数  len为偶数的时候,中间靠右的这个数
        //由上可知 无论len是奇数还是偶数 下式表达的肯定就是中位数
        return (findMedianSortedArrays(A,0,B,0,left)+findMedianSortedArrays(A,0,B,0,right))/2.0;
    }
    public int findMedianSortedArrays(int A[],int Aleft,int B[],int Bleft,int k){
        //当出现越界的情况的时候 ,就说明,其中一个数组已经被过滤完,要找的倒数第k个数一定是在另一个数组中
        if(Aleft>=A.length)
            return B[Bleft+k-1];
        if(Bleft>=B.length)
            return A[Aleft+k-1];
        //当出现要求的数等于一的时候,直接返回 A,B第一个数的最小值就可以了
        if(k==1)
            return Math.min(A[Aleft],B[Bleft]);
        int Amid=Integer.MAX_VALUE;
        int Bmid=Integer.MAX_VALUE;
        if(Aleft+k/2-1<A.length)//有可能会出现越界的情况 当出现越界的情况的时候 设Amid为最大值则 Amid>Bmid成立 在B中去除前k/2个数
            //出现越界的情况可以这样考虑:因为第k个数,那么A,B的总数据在第k个数据的右边应该是有len-k个数据的,也就是 k(分奇数偶数 或者是k-1)  
            //如果说A出现越界了,那么A种少于Aleft+k/2-1的数据一定是在B数组中,那么B数组中Bleft+k/2-1个数就一定是中位数的左边了。
            //所以 可以直接过滤;
            Amid=A[Aleft+k/2-1];
        
        //同上
        if(Bleft+k/2-1<B.length)
            Bmid=B[Bleft+k/2-1];
        if(Amid>Bmid)//说明 B的前k/2个数 都是小于中位数 直接过滤 改成寻找k-k/2个数
            return findMedianSortedArrays(A,Aleft,B,Bleft+k/2,k-k/2);
        else//说明 A的前k/2个数 都是小于中位数 直接过滤 改成寻找k-k/2个数
            return findMedianSortedArrays(A,Aleft+k/2,B,Bleft,k-k/2);
    }
}

 

可以使用二分查找算法来解决这个问题。 首先,我们可以将两个数组合并成一个有序数组,然后求出中位数。但是,这个方法的时间复杂度为 $O(m + n)$,不符合题目要求。因此,我们需要寻找一种更快的方法。 我们可以使用二分查找算法在两个数组中分别找到一个位置,使得这个位置将两个数组分成的左右两部分的元素个数之和相等,或者两部分的元素个数之差不超过 1。这个位置就是中位数所在的位置。 具体来说,我们分别在两个数组中二分查找,假设现在在第一个数组中找到了一个位置 $i$,那么在第二个数组中对应的位置就是 $(m + n + 1) / 2 - i$。如果 $i$ 左边的元素个数加上 $(m + n + 1) / 2 - i$ 左边的元素个数等于 $m$ 个,或者 $i$ 左边的元素个数加上 $(m + n + 1) / 2 - i$ 左边的元素个数等于 $m + 1$ 个,则这个位置就是中位数所在的位置。 具体的实现可以参考以下 Java 代码: ```java public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) { int m = nums1.length, n = nums2.length; if (m > n) { // 保证第一个数组不大于第二个数组 int[] tmp = nums1; nums1 = nums2; nums2 = tmp; int t = m; m = n; n = t; } int imin = 0, imax = m, halfLen = (m + n + 1) / 2; while (imin <= imax) { int i = (imin + imax) / 2; int j = halfLen - i; if (i < imax && nums2[j - 1] > nums1[i]) { imin = i + 1; // i 太小了,增大 i } else if (i > imin && nums1[i - 1] > nums2[j]) { imax = i - 1; // i 太大了,减小 i } else { // i 是合适的位置 int maxLeft = 0; if (i == 0) { // nums1 的左边没有元素 maxLeft = nums2[j - 1]; } else if (j == 0) { // nums2 的左边没有元素 maxLeft = nums1[i - 1]; } else { maxLeft = Math.max(nums1[i - 1], nums2[j - 1]); } if ((m + n) % 2 == 1) { // 总元素个数是奇数 return maxLeft; } int minRight = 0; if (i == m) { // nums1 的右边没有元素 minRight = nums2[j]; } else if (j == n) { // nums2 的右边没有元素 minRight = nums1[i]; } else { minRight = Math.min(nums1[i], nums2[j]); } return (maxLeft + minRight) / 2.0; } } return 0.0; } ``` 时间复杂度为 $O(\log\min(m, n))$。
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