双人零和博弈（two player zero-sum game）的性质

reference: https://www.tau.ac.il/~mansour/course_games/scribe/lecture4.pdf

双人零和博弈是指两个参与者的支付在任意情况下和为0的博弈。假设行玩家的策略为x，列玩家的策略为y，那么行玩家的目标应为max_x（xRy），而列玩家的目标为max_y (x-Ry)，即min_y(xRy)，因此，零和博弈的本质是优化的minmax问题

双人零和博弈的纳什均衡有下列若干性质：

1. 可交换性：假设博弈$⟨G,\pi ⟩$有NE：$({\gamma }_1,{\gamma }_2)$和$({\sigma }_1,{\sigma }_2)$，那么$({\gamma }_1,{\sigma }_2),({\sigma }_1,{\gamma }_2)$也是NE，且$\pi ({\gamma }_1,{\gamma }_2)=\pi ({\sigma }_1,{\sigma }_2)=\pi ({\gamma }_1,{\sigma }_2)=\pi ({\sigma }_1,{\gamma }_2)$

   证明：根据NE的性质：$\pi ({\gamma }_1,{\gamma }_2)\ge \pi ({\sigma }_1,{\gamma }_2)\ge \pi ({\sigma }_1,{\sigma }_2)$，同理，$\pi ({\gamma }_1,{\gamma }_2)\le \pi ({\gamma }_1,{\sigma }_2)\le \pi ({\sigma }_1,{\sigma }_2)$，从而可知这些策略的payoff是一样的，从而由NE的定义，$({\gamma }_1,{\sigma }_2),({\sigma }_1,{\gamma }_2)$同样使得两人不会偏离当前策略，因此也是NE。

   推论：如果定义行玩家的均衡策略集合为S1={σ1∈A1∣∃σ2∈A2,(σ1,σ2)is an eq. pt.}S_1=\{\sigma_1\in A_1|\exists \sigma_2\in A_2,(\sigma_1,\sigma_2)\text{is an eq. pt.}\}S1​={σ1​∈A1​∣∃σ2​∈A2​,(σ1​,σ2​)is an eq. pt.}，那么该博弈的所有NE可以表示为$S_1\times S_2$，并且任意两个NE的payoff均相同。下一个定理刻画了应当如何求这个payoff

2. 上下界统一保证：如果博弈为normal form，行玩家的支付由矩阵A表示，则显然行玩家的收益的下界为${\max }_x{\min }_y{x}^{T}Ay={\max }_x{\min }_j\sum x_i{a}_{ij}$，上界为${\min }_y{\max }_i\sum y_j{a}_{ij}$. 根据Minmax Theorem，事实上可以证明这两个界的值是相等的，进而提示我们使用线性规划求解NE的方法：

   证明：引理：凸集分离定理：假设$\text{convex set }B\subset R^d,\vec{x}\notin B$，则存在$\alpha \in R^d$和$a$，使得$\vec{\alpha }\cdot \vec{x}=a<\vec{\alpha }\cdot \vec{y},\forall \vec{y}\in B$，亦即，凸集B和$\vec{x}$被超平面$\vec{\alpha }\cdot \vec{t}=a$分离

   引理：A为m*n维矩阵，m个n维行向量记为$\overrightarrow{a_i}$，则下列二者之一成立：

   1. $\vec{0}$位于$\overrightarrow{a_i}\cup \overrightarrow{e_i}$共n+m个n维向量构成的凸包中 2. 存在一个向量$\vec{x}\in {\Delta }^n$，使得$\overrightarrow{a_i}\cdot \vec{x}>0$

   Pf：对0和这些向量的凸包使用凸集分离定理即可

   回原：考虑上面引理的两种情况：

   情况1：则存在和为1的非负实数$s_1,...,s_{n+m}$，使得${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{s}_j+s_{n+i}=0,\forall 1\le i\le m$. 显然，$s_1,...,s_n$不全为0，从而定义n维向量$\bar{y}$：${\bar{y}}_i=s_i/{\sum }_{i=1}^n{s}_i$，则$\vec{y}\in {\Delta }^n$，且${\sum }_j{a}_{ij}{\bar{y}}_j\le 0,\forall i$，从而，结果的上界${\min }_y{\max }_i\sum y_j{a}_{ij}\le {\max }_i\sum {\bar{y}}_j{a}_{ij}\le 0$，从而有算法结果的上下界结果均小于等于0

   情况2：同理，可以存在$\overrightarrow{\stackrel{ˉ}{x}}$，使得结果的下界大于等于0，从而上下界结果均大于等于0

   从而， 我们证明了对于0，算法的上下界在其同侧。同理，对任意的常数c，定义矩阵B=A-c，使用上面的结论，则显然算法的上下界对任意常数c也在同侧，从而上下界的值必须相等，命题得证！

   推论：由上，显然这个博弈的任意NE的值必须等于这个上下界的值，称为value of the game，简记为V

3. 算法：行玩家的任意策略x若满足$\forall j,{\sum }_i{x}_i{a}_{ij}\ge V$，则其对行玩家是最优的，因为根据V的定义，这保证了行玩家在面对列玩家的任意策略组合时都能获得大于等于V的收益；而且由于V的上界性，不可能存在更好的界了；同理，列玩家的任何策略y若满足$\forall i,{\sum }_i{y}_j{a}_{ij}\le V$，则也是最优的。这样的策略(x,y)显然满足$x^{T}Ay=V$并且构成一个NE，并且推导出一个计算行玩家策略的算法：
   $$\begin{array}{lcl}\forall 1\le j\le n,& {\sum }_{i=1}^m{x}_i{a}_{ij}-V& \ge 0\\ \forall 1\le i\le m& x_i& \ge 0\\ & {\sum }_{i=1}^m{x}_i& =1\\ & \text{ Maximize target function }& V\end{array}$$
   由上，其对偶算法计算了列玩家的策略：
   $$\begin{array}{lcl}\forall 1\le j\le m,& {\sum }_{i=1}^n{y}_i{a}_{ji}-V& \le 0\\ \forall 1\le i\le n& y_i& \ge 0\\ & {\sum }_{i=1}^n{y}_i& =1\\ & \text{ Minimize target function }& V\end{array}$$
   显然，由于线性规划是多项式时间的算法，因此计算零和博弈的NE也是多项式时间的。