泛函分析复习笔记（三）紧算子与Fredholm算子

Chapter 3 紧算子与Fredholm算子

紧算子：$\mathcal{X},\mathcal{Y}$ $B$ 空间, $A:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ 线性. 称 $A$ 是紧算子, 如果 $\overline{A\left(B_1\right)}$ 在 $\mathcal{Y}$ 中是紧集, 其中 $B_1$ 是 $\mathcal{X}$ 中的单位球.
一切紧算子的集合记作 $\mathfrak{C}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 当 $\mathcal{X}=\mathcal{Y}$ 时, 记作 $\mathfrak{C}(\mathcal{X})$

注：$A$紧$\iff$对于 $\mathcal{X}$ 中的任意有界集 $B,\overline{A(B)}$ 在 $\mathcal{Y}$ 中是紧集$\iff$对任意有界点列 {xn}⊂X,{Axn}\left\{x_{n}\right\} \subset \mathscr{X},\left\{A x_{n}\right\}{xn​}⊂X,{Axn​} 有收敛子列（紧等价于自列紧）
性质：
(1) $\mathfrak{C}(\mathcal{X},\mathcal{Y})\subset \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$且闭
(2) $\mathfrak{C}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$是线性空间
(3) 设 $A\in \mathfrak{C}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 又设 ${\mathcal{X}}_0\subset \mathcal{X}$ 是一个闭线性子空间, 那么 $A_0\triangleq A\mid {\mathcal{X}}_0\in \mathfrak{C}\left({\mathcal{X}}_0,\mathcal{Y}\right)$
(4) 若 $A\in \mathfrak{C}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 则 $R(A)$ 可分
(5) 若 $A\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 而 $B\in \mathcal{L}(\mathcal{Y},\mathcal{Z})$, 并且这两个算子中 有一个是紧的, 则 $BA\in \mathfrak{C}(\mathcal{X},\mathcal{Z})$.

全连续：$x_n\rightharpoonup x⟹A{x}_n\to Ax$

命题：紧算子必定全连续，自反空间中的全连续算子必定紧

定理：$T\in \mathfrak{C}(\mathcal{X},\mathcal{Y})⟺T^{\ast }\in \mathbb{C}\left({\mathcal{Y}}^{\ast },{\mathcal{X}}^{\ast }\right)$

紧算子的构造：

有穷秩算子： 设 $T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 若 $\dim R(T)<\infty$，一切有穷秩算子的集合记作 $F(\mathcal{X},\mathcal{Y})$（显然，$F\subset C$）

秩1算子：设 $f\in {\mathcal{X}}^{\ast },y\in \mathcal{Y}$, 用 $y\otimes f$ 表示下列算子：$x\mapsto ⟨f,x⟩y(\forall x\in \mathcal{X})$，称为秩1算子

有穷秩算子的分解： $T\in F(\mathcal{X},\mathcal{Y})$$\iff$ $\exists y_i\in \mathcal{Y}$ 以 及 $f_i\in {\mathcal{X}}^{\ast }(i=1,2,\cdots ,n)$, 使得$T={\sum }_{i=1}^n{y}_i\otimes f_i$

有穷秩算子的逼近：

(1) 在Hilbert空间上，$\overline{F(\mathcal{X},\mathcal{Y})}=\mathfrak{C}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$(思路：在有穷$ϵ$-网上做正交投影)

(2) **在Banach空间上，如果存在一组Schauder基： {en}n=1∞⊂X\left\{e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathscr{X}{en​}n=1∞​⊂X 为 $\mathcal{X}$： $\forall x\in \mathcal{X}$, 存在唯一的一个序列 {Cn(x)}\left\{C_{n}(x)\right\}{Cn​(x)}, 使得
$x={\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N{C}_n(x)e_n$ ，则也有$\overline{F(\mathcal{X},\mathcal{Y})}=\mathfrak{C}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，但是Schauder基并不一定存在

Reisz-Fredholm理论：

需求：求解微分方程（形如：$x(t)={\int }_0^{1}K(t,s)x(s)ds+y(t)$），其定义了一个算子$Tx=y,T=I-A,$且$TA$紧

Fredholm二择一：关于该方程仅存在两种可能：(1)$\forall y\in L^2[0,1]$，方程存在唯一解 (2)$y=\theta$时，方程有非零解

对任意的 $M\subset \mathcal{X},N\subset {\mathcal{X}}^{\ast }$, 记⊥M≜{f∈X∗∣⟨f,x⟩=0,∀x∈M},N⊥≜{x∈X∣⟨f,x⟩=0,∀f∈N}.\begin{gathered} { }^{\perp} M \triangleq\left\{f \in \mathscr{X}^{*} \mid\langle f, x\rangle=0, \forall x \in M\right\}, \\ N^{\perp} \triangleq\{x \in \mathscr{X} \mid\langle f, x\rangle=0, \forall f \in N\} . \end{gathered}⊥M≜{f∈X∗∣⟨f,x⟩=0,∀x∈M},N⊥≜{x∈X∣⟨f,x⟩=0,∀f∈N}.​

又若 $f\in {\mathcal{X}}^{\ast },x\in \mathcal{X}$, 满足 $⟨f,x⟩=0$, 便简单地记作 $f\perp x$

则：Fredholm理论：$T=I-A,A$紧=> (1)N(T)={θ}⟹R(T)=XN(T)=\{\theta\} \Longrightarrow R(T)=\mathscr{X}N(T)={θ}⟹R(T)=X (2) $\sigma (T)=\overline{\sigma \left(T^{\ast }\right)}$(共轭)，且$\dim N(T)=\dim N\left(T^{\ast }\right)<\infty$ (3) $R(T)=N{\left(T^{\ast }\right)}^{\perp },R\left(T^{\ast }\right)={}^{\perp }N(T)$

余维数：$\mathrm{codim}(M)=\dim (\mathcal{X}/M)$

紧算子的谱理论：

紧算子的谱分布：若 $A\in \mathfrak{C}(\mathcal{X})$, 则：(1) $0\in \sigma (A)$, 除非 $\dim \mathcal{X}<\infty$ (2) σ(A)\{0}=σp(A)\{0}\sigma(A) \backslash\{0\}=\sigma_{p}(A) \backslash\{0\}σ(A)\{0}=σp​(A)\{0} (3) ${\sigma }_p(A)$ 至多以 0 为聚点.

翻译：在无穷维空间上，只有三种可能：(1) σ(A)={0}\sigma(A)=\{0\}σ(A)={0} (2) σ(A)={0,λ1,λ2,⋯ ,λn}\sigma(A)=\left\{0, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}σ(A)={0,λ1​,λ2​,⋯,λn​} (3) σ(A)={λ1,λ2,⋯ ,λn,⋯ }\sigma(A)=\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}, \cdots\right\}σ(A)={λ1​,λ2​,⋯,λn​,⋯}, 其中 ${\lambda }_n\to 0$

不变子空间：设 $\mathcal{X}$ 是一个 $B$ 空间, $M\subset \mathcal{X}$ ，若$A(M)\subset M$则称为不变子空间

常见不变子空间：(1)平凡不变子空间：{θ},X\{\theta\},\mathscr{X}{θ},X (2) $\lambda \in {\sigma }_p(A)$, 即 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值, 则 $N(\lambda I-A)$ 为不变子空间 (3) $\forall y\in \mathcal{X}$, 若记 Ly≜{P(A)y∣PL_{y} \triangleq\{P(A) y \mid PLy​≜{P(A)y∣P 是任意多项式 $\}$, 则 $L_y$ 是$A$的不变子空间.

定理：若 $\dim \mathcal{X}⩾2$, 则 $\forall A\in \mathfrak{C}(\mathcal{X}),A$ 必有非平凡的闭不变子空间.

Fredholm算子： 设 $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ 是 Banach 空间, $T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$ 称为一个 Fredholm 算子, 是指:
(1) $R(T)$ 是闭的;
(2) $\dim N(T)<\infty$;
(3) $\mathrm{codim}R(T)<\infty$
$\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ 的一切 Fredholm 算子的全体记作 $\mathcal{F}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 特别地, 当 $\mathcal{Y}=\mathcal{X}$ 时, 记作 $\mathcal{F}(\mathcal{X})$.

指标：$\mathrm{ind}(T)=\dim N(T)-\mathrm{codim}R(T)$，从而$I-C,C$紧为一个Fredholm算子

则：左右移位算子的指标分别为正负1

Fredholm算子的结构：

(1) 若 $T\in \mathcal{F}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 则必有 $S\in \mathcal{L}(\mathcal{Y},\mathcal{X})$ 以 及 $A_1\in \mathfrak{C}(\mathcal{X}),A_2\in \mathfrak{C}(\mathcal{Y})$, 使得$ST=I_x-A_1,TS=I_y-A_2$，其中 $I_x,I_y$ 分别表示 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 上的恒同算子.
(2) 如果 $T\in \mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 又有 $R_1,R_2\in \mathcal{L}(\mathcal{Y},\mathcal{X})$ 以及 $A_1\in$ $\mathfrak{C}(\mathcal{X}),A_2\in \mathfrak{C}(\mathcal{Y})$, 使得$R_{1}T=I_x-A_1,T{R}_2=I_y-A_2$，则 $T\in \mathcal{F}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$

$R_1,R_2$分别称为$T$的左右正则化子，意义为：Fredholm算子在左右正则化子的作用下确实与$I-紧算子$相同

定理：若 $T_1\in \mathcal{F}(\mathcal{X},\mathcal{Y}),T_2\in \mathcal{F}(\mathcal{Y},\mathcal{Z})$, 其中 $\mathcal{X},\mathcal{Y}$, $\mathcal{Z}$ 都是 Banach 空间, 则 $T_2{T}_1\in \mathcal{F}(\mathcal{X},\mathcal{Z})$, 且$\mathrm{ind}\left(T_2{T}_1\right)=\mathrm{ind}\left(T_1\right)+\mathrm{ind}\left(T_2\right)$

线性微扰稳定性：若 $T\in \mathcal{F}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 则存在 $\epsilon >0$, 使得当 $S\in$ $\mathcal{L}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$, 且 $\Vert S\Vert <\epsilon$ 时, 有$T+S\in \mathcal{F}(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，并且$\mathrm{ind}(T+S)=\mathrm{ind}(T)$