泛函分析复习笔记（一）度量空间

参考教材：《泛函分析讲义》张恭庆、林源渠 第二版（上） 第1-3章
因为字数太多所以按照章节分成3部分发出
内容完全为书上定理和例子的总结整理

泛函分析复习笔记

Chapter 1 度量空间

距离：$\rho :\mathcal{X}\times \mathcal{X}\to \mathbb{R}$: (1) （正定性）$\rho (x,y)\ge 0,=0\text{ iff }x=y$ (2)（对称性） $\rho (x,y)=\rho (y,x)$ (3)（正定性） $\rho (x,z)\le \rho (x,y)+\rho (y,z)$ （引入距离的目的是借助实数的完备、全序性刻画收敛）

度量空间：装备距离的空间$(\mathcal{X},\rho )$

收敛：{xn}⊂(X,ρ)\{x_n\}\subset (\mathscr{X},\rho){xn​}⊂(X,ρ)收敛到$x_0$，若${\lim }_{n\to \infty }\rho (x_n,x_0)=0$，记为${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0$或$x_n\to x_0$

伴随收敛会产生很多性质：

闭集：$E\subset (\mathcal{X},\rho )$称为闭集，若∀{xn}⊂E,xn→x0⇒x0∈E\forall \{x_n\} \subset E, x_n\rightarrow x_0\Rightarrow x_0\in E∀{xn​}⊂E,xn​→x0​⇒x0​∈E

基本列：$\rho (x_n,x_m)\to 0$

完备：若一个空间的所有基本列均收敛，则称其为完备空间

连续：映射$T:(\mathcal{X},\rho )\to (\mathcal{Y},\gamma )$称为连续映射，若∀{xn}→ρx0⇒{Txn}→γTx0\forall \{x_n\}\rightarrow_\rho x_0\Rightarrow \{Tx_n\}\rightarrow_\gamma Tx_0∀{xn​}→ρ​x0​⇒{Txn​}→γ​Tx0​

​ 等价于$\forall \epsilon >0,\forall x_0\in \mathcal{X},\exists \delta =\delta \left(x_0,\epsilon \right)>0$，使得$\rho \left(x,x_0\right)<\delta ⟹r\left(Tx,T{x}_0\right)<\epsilon (\forall x\in \mathcal{X})$

压缩映射原理：$(\mathcal{X},\rho )$为完备度量空间，且T为其到自身的压缩映射（$T:\exists 0<\alpha<1 \text {, 使得 } \rho(T x, T y) \leqslant \alpha \rho(x, y)(\forall x, y \in \mathscr{X}) $），则T在$\mathscr{X}$上有唯一的不动点

等距同构：设$(\mathcal{X},\rho ),({\mathcal{X}}_1,{\rho }_1)$为两个度量空间，如果映射$\phi :\mathcal{X}\to {\mathcal{X}}_1$为双射，且$\rho (x,y)={\rho }_1(\phi x,\phi y)$，则称其为等距同构，之后在度量上不再区分这两个空间。

嵌入：如果$(\mathcal{X},\rho )$和$({\mathcal{X}}_1,{\rho }_1)$的一个子空间同构，则称其可以嵌入之，记为$(\mathcal{X},\rho )\subset ({\mathcal{X}}_1,{\rho }_1)$

稠密：称$E\subset (\mathcal{X},\rho )$为稠密子集，若∀x∈X,∃{xn}∈E,xn→x\forall x\in \mathscr{X}, \exists \{x_n\}\in E, x_n\rightarrow x∀x∈X,∃{xn​}∈E,xn​→x

完备化：思想：模仿用有理数构造无理数的完备化过程：通过定理极限元构造完备化空间

​ 完备化空间：包含$(\mathcal{X},\rho )$的最小完备度量空间

​ 命题：若完备空间$({\mathcal{X}}_1,{\rho }_1)$以$(\mathcal{X},\rho )$为子空间，且${\rho }_1{|}_{\mathcal{X}\times \mathcal{X}}=\rho$，并且$\mathcal{X}$在${\mathcal{X}}_1$中稠密，则${\mathcal{X}}_1$为$\mathcal{X}$的完备化空间

​ 完备化空间的构造：(1)基本列以极限点划分为等价类(2)完备+稠密

列紧：$A\subset (\mathcal{X},\rho )$，称A是列紧的，若A中的任意点列在$\mathcal{X}$中有收敛子列；若这个子列还必定收敛到A中，则称A是自列紧的；如果$\mathcal{X}$是列紧的，则称为列紧空间

推论：列紧空间的任何（闭）子集（自）列紧

$ϵ$-网：如果$N\subset M\subset (\mathcal{X},\rho )$，并且对给定$ϵ,\forall x\in M,\exists y,\rho (x,y)<ϵ$，则N称为M的一个$ϵ$-网，如果N的元素个数有限，则称为有穷$ϵ$-网

完全有界：集合M称为完全有界的，如果$\forall ϵ>0$，都存在M的一个有穷$ϵ$-网（完全有界$\to$有界）

Hausdorff定理：（完备）度量空间$(\mathcal{X},\rho )$中的集合M列紧必须（且仅需）M完全有界

可分：一个度量空间若有可数的稠密子集，则可分

定理：完全有界$\Rightarrow$可分

紧：在空间$\mathcal{X}$中，集合M称为紧的，如果任意的开覆盖必有有限子覆盖

定理：紧$\iff$自列紧

Arzela-Ascoli定理：$F\in (C(M),\rho ),\rho ={\max }_{t\in M}|u(t)-v(t)|$列紧当且仅当F一致有界且等度连续

以上讨论的均为度量空间的拓扑性质，但是更多时候需要增加空间上元素的运算来给出额外性质，因此以下讨论空间的一些代数结构

线性空间、线性同构、线性子空间、线性流形、线性相关、基、维数、直和

线性包： {xλ∣λ∈Λ}\left\{x_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{xλ​∣λ∈Λ} 是 $\mathcal{X}$ 中的向量族，由其中元素的有穷线性组合构成的集合{y=α1xλ1+⋯+αnxλn∣λi∈Λ,αi∈K,i=1,2,⋯ ,n}\left\{y=\alpha_{1} x_{\lambda_{1}}+\cdots+\alpha_{n} x_{\lambda_{n}} \mid \lambda_{i} \in \Lambda, \alpha_{i} \in \mathbb{K}, i=1,2, \cdots, n\right\}{y=α1​xλ1​​+⋯+αn​xλn​​∣λi​∈Λ,αi​∈K,i=1,2,⋯,n}称为 {xλ∣λ∈Λ}\left\{x_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{xλ​∣λ∈Λ} 的线性包。线性包是一个线性子空间（注意线性空间的定义：要求$\forall x,y\in X,x+y\in X$，所以根据归纳应为有限组合），不难证明它是包含 {xλ∣λ∈Λ}\left\{x_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{xλ​∣λ∈Λ} 的一切线性子空间的交，因此称为 {xλ∣λ∈Λ}\left\{x_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{xλ​∣λ∈Λ} 张成的线性子空间, 记为span⁡{xλ∣λ∈Λ}.\operatorname{span}\left\{x_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\} .span{xλ​∣λ∈Λ}.

线性空间上的距离：要求度量函数$\rho$额外满足：(1)平移不变性（等价于加法连续性）(2)数乘连续性，从而可以导出$p(x-y)=\rho (x-y,\theta )=\rho (x,y)$应当满足的性质，即得到准范数的定义：

准范数：$\Vert \cdot \Vert :\mathcal{X}\to \mathbb{R}$满足：(1)正定性：$\Vert x\Vert \ge 0,=0\iff x=\theta$ (2)三角不等式：$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ (3)对称性：$\Vert -x\Vert =\Vert x\Vert$ (4) 数乘连续性：${\lim }_{{\alpha }_n\to 0}\Vert {\alpha }_{n}x\Vert =0,{\lim }_{||x_n||\to 0}\Vert \alpha x_n\Vert =0$

范数：具有齐次性的准范数：性质(3),(4)更改为：$\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$

空间分类：度量为准范数的空间称为$F^{\ast }$空间，完备则称为$F$空间；度量为范数的空间称为$B^{\ast }$空间，完备则称为$B$空间

范数等价：在空间$(\mathcal{X},\rho )$中的两个范数：$ ||\cdot||_2\succ ||\cdot||_1,\text{iff } ||x_n||_2\rightarrow 0\Rightarrow ||x_n||_1\rightarrow 0$, $\iff \exists C,||x|{|}_1\le C||x|{|}_2$，因此范数等价就是比例存在上下界

定理：有穷维线性空间上的任何两个范数等价（都等价于基坐标的标准欧式范数）

次线性泛函：$P:\mathcal{X}\to \mathbb{R}$，满足：(1) 三角不等式 （2）正齐次性（$P(\lambda x)=\lambda P(x),\forall \lambda >0$）

半范数：次线性泛函：正齐次性=>齐次性（$P(\alpha x)=|\alpha |P(x)$）+非负性

有穷维$B^{\ast }$空间的刻画：

定理：一个$B^{\ast }$空间维数有限当且仅当其单位球面列紧，当且仅当其任意有界集合列紧

Riesz引理：如果${\mathcal{X}}_0$为$B^{\ast }$空间$\mathcal{X}$的一个真闭子空间，则$\forall ϵ\in (0,1),\exists y\in \mathcal{X},||y||=1,||y-x||\ge 1-ϵ,\forall x\in {\mathcal{X}}_0$

商空间：$B^{\ast }$空间$(\mathcal{X},\rho )$有闭线性子空间${\mathcal{X}}_0$，则定义等价类$x\sim x^{\prime }s.t.x-x^{\prime }\in {\mathcal{X}}_0$，则构成一个商空间$\mathcal{X}/{\mathcal{X}}_0$，且若在其上定义模长$||[x]|{|}_0={\inf }_{y\in [x]}||y||$，则此商空间是$B^{\ast }$空间，且若原空间为B空间，则商空间也是B空间

凸集：任意线段均在其中的集合（凸集的定义与度量无关，因此下面默认为线空即可）

性质：凸集的并为凸集；任意集合A存在凸包$co(A)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i,{\sum }_i{\lambda }_i=1.{\lambda }_i\ge 0,\forall n$

Minkowski泛函：C为含有$\theta$的凸集，则可以定义取值于$[0,\infty ]$的函数P(x)=inf⁡{λ>0∣x/λ∈C}P(x)=\inf \{\lambda >0| x/\lambda \in C\}P(x)=inf{λ>0∣x/λ∈C}（x所在方向的外层）

性质：$P(\theta )=0,P(\lambda x)=\lambda P(x)(\lambda >0),P(x+y)\le P(x)+P(y)$，故为一个次线性泛函

集合C的影响：吸收凸集$\iff$ P为实值函数（取值为$[0,\infty )$）；对称凸集($x\in C\Rightarrow -x\in C$)$\Rightarrow$ P(x)为实齐的；均衡凸集（$x\in C\Rightarrow \alpha x\in C(\forall \alpha \in C,|\alpha |=1)$）$\Rightarrow$ P为半范数；进一步对$B^{\ast }$空间有结论：C={x∣P(x)≤1}C=\{x|P(x)\leq 1\}C={x∣P(x)≤1}

推论：若$C$为${\mathbb{R}}^n$中的紧凸子集，则必定存在$m\le n$，使得C同胚于${\mathbb{R}}^m$中的单位球

Brouwer不动点定理：设B是${\mathbb{R}}^n$中的闭单位球，$T:B\to B$连续，则$T$必定存在一个不动点（推论：任意紧凸集上的变换均可）

推广：无穷维：Schauder不动点定理：设C为$B^{\ast }$空间中的闭凸子集，$T:C\to C$连续且$T(C)$列紧，则T在C上必有不动点

思路：用有穷$ϵ$-网的线性组合上定义的映射$I_n$来近似恒同映射，并且对限制在该线性组合上的映射$T$：$T_n$采用Brouwer定理推论即可构造一系列不动点$x_n$，再证明$x_n\to x$且$T_n{x}_n\to Tx$，从而$x=Tx$即为所求

紧映射：$E\subset \mathcal{X}{B}^{\ast }$，$T:E\to \mathcal{X}$是紧的，若其连续且将E中任意有界集合映射为$\mathcal{X}$中的列紧集

推论：$B^{\ast }$空间中有界闭凸子集C上的紧映射必有不动点

内积：（引入夹角相关概念）线性空间$\mathcal{X}$上的共轭双线性函数$\mathcal{X}\times \mathcal{X}\to \mathbb{K}$称为一个内积，如果其满足共轭对称性和正定性

由于广义Cauchy不等式，内积可以导出范数：$||x||=(x,x{)}^{1/2}$必为范数，从而得到一个$B^{\ast }$空间且可以证明其严格凸

定理：对于$B^{\ast }$空间$(\mathcal{X},||\cdot ||)$，$\Vert \Vert$可以诱导如上内积当且仅当其满足平行四边形等式：$||x+y|{|}^2+||x-y|{|}^2=2(||x|{|}^2+||y|{|}^2)$

完备的内积空间称为Hibert空间

有内积后可以定义：正交、正交补、正交集、正交规范集（正交补必定为闭线性空间，$S^{\perp }={\overline{S}}^{\perp }$）

（子空间的）完备：S⊂X,S⊥={θ}S\subset \mathscr{X}, S^\perp=\{\theta\}S⊂X,S⊥={θ}

（正交规范集的）封闭：$S\subset \mathcal{X}$正交规范，若$\forall x\in \mathcal{X},x$有Fourier分解$x={\sum }_{\vee }(x,e_{\alpha })e_{\alpha }$，则称S封闭

Zorn引理$\Rightarrow$一个内积空间必定有完备正交集

Bessel不等式：对于内积空间，若S={eα∣α∈A}S=\{e_\alpha |\alpha \in A\}S={eα​∣α∈A}为正交规范集，则${\sum }_{\alpha \in A}|(x,e_{\alpha }){|}^2\le ||x|{|}^2$

Bessel等式：对于Hilbert空间，上式取等当且仅当S封闭，当且仅当S完备

使用Schmidt正交化可以将一组线性无关的元素转化为正交规范集

线性同构：$T:({\mathcal{X}}_1,(\cdot ,\cdot {)}_1)\to ({\mathcal{X}}_2,(\cdot ,\cdot {)}_2)$为内积空间间的线性同构，若$(Tx,Ty{)}_2=(x,y{)}_1$

可分Hilbert空间的结构：可分$\iff$有元素个数可数的正交规范基；当元素个数有限，则同构于${\mathbb{K}}^n$；当无限，则同构于$l^2$

最佳逼近问题：在空间$(\mathcal{X},\rho )$中，给定有限个向量$e_i$，求解问题：${\min }_{a\in {\mathbb{K}}^n}||x-{\sum }_{i=1}^n{a}_i{e}_i||$

定理：如果$\mathcal{X}$$B^{\ast }$，则任意元素在任意有限维空间上必定存在最佳逼近元

定理：如果$B^{\ast }$空间严格凸（$||x||=||y||=1\Rightarrow ||\alpha x+(1-\alpha )y||<1,x\ne y,\forall \alpha \in [0,1]$），则任意元素在任意有限维空间上最佳逼近元唯一

定理：在Hilbert空间上C是一个闭凸子集，则任意元素在C上最佳逼近元唯一

最佳逼近元的性质：若$x_0$为$y$的最佳逼近元，则$Re(y-x_0,x_0-x)\ge 0$， $\forall x\in C$；特别地，若C为线性流形，则$y-x_0\perp C-x_0$

从而根据最佳逼近知Hilbert空间上可以利用逼近元定义线性空间上的唯一正交分解

常见空间：

（欧式空间）$({\mathbb{R}}^n,\rho ):\rho (x,y)=({\sum }_i(x_i-y_i{)}^2{)}^{1/2}$ 完备且为B空间，定义内积为${\sum }_i{x}_i{y}_i$则为内积空间

（有界区间上的连续函数集）$(C[a,b],\rho ):\rho (x,y)={\max }_{a\le t\le b}|x(t)-y(t)|$ 完备且为B空间，不严格凸；$(C[a,b],{\rho }_1):{\rho }_1(x,y)={\int }_a^b|x(t)-y(t)|dt$ 的完备化空间$L^1[a,b]$

（空间S）用S表示一切序列$x=(x_1,...,x_n,...)$组成的线性空间，$\Vert x\Vert \triangleq {\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}\frac{|x_n|}{1+|x_n|}$为准番薯，则$(S,\Vert \cdot \Vert )$为F空间

（p次可积函数空间）Lp(Ω,μ)(p≥1)={u∣∫Ω∣u(x)∣pdμ<+∞}L^p(\Omega, \mu)(p\geq 1)=\{u|\int_\Omega |u(x)|^p d\mu<+\infty\}Lp(Ω,μ)(p≥1)={u∣∫Ω​∣u(x)∣pdμ<+∞}，将a.e.相等的元素视为相同，为一个线性空间，$||u||=({\int }_{\Omega }|u(x){|}^{p}d\mu {)}^{1/p}$为范数（Minkowvski不等式），则$(L^p(\Omega ,\mu ),\Vert \cdot \Vert )$完备（Riesz-Fisher定理）且为B空间。在p>1时严格凸

特例：$L^p(\Omega )$：$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$，测度为Lebesgue测度；$l^p$：Ω=N,μ({n})=1\Omega=\mathbb{N}, \mu(\{n\})=1Ω=N,μ({n})=1，空间由满足${\sum }_{n=1}^{\infty }|u_n{|}^p<+\infty$的序列构成

​ $L^{\infty }(\Omega ,\mu )$：和有界函数几乎处处相等的可测函数（本性有界可测函数）的集合，范数定义为$||u||={\inf }_{\mu (E_0)=0}({\sup }_{x\in \Omega \backslash E_0}|u(x)|)$

​ 仅有p=2时，$L^2(\Omega ,\mu )$为内积空间，其上的内积为$(u,v)={\int }_{\Omega }u(x)\overline{v(x)}d\mu$，为H空间

（k阶偏导连续函数）$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$为连通有界开区域，$C^k(\bar{\Omega })$为在$\Omega$上有k阶连续偏导的函数$u(x)=u(x_1,...,x_n)$的全体，$\Vert u\Vert ={\max }_{|\alpha |\le k}{\max }_{x\in \bar{\Omega }}|{\partial }^{\alpha }u(x)|,|\alpha |={\alpha }_1+...+{\alpha }_n$，为范数，则其完备且为B空间；定义内积为$(u,v)={\sum }_{|\alpha |\le k}{\int }_{\Omega }{\partial }^{\alpha }u(x)\overline{{\partial }^{\alpha }v(x)\stackrel{ˉ}{dx}}$，为H空间

（Soblev空间）$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$为连通有界开区域，$C^m(\bar{\Omega })$为在$\Omega$上有k阶连续偏导的函数$u(x)=u(x_1,...,x_n)$的全体，$\Vert u{\Vert }_{m,p}=({\sum }_{|\alpha |\le m}{\int }_{\Omega }|{\partial }^{\alpha }u(x){|}^{p}dx{)}^{1/p},|\alpha |={\alpha }_1+...+{\alpha }_n$，为范数，但不是完备的。依照该范数对子空间S={u∈Cm(Ω)∣∥u∥m,p<∞}S=\left\{u \in C^{m}(\Omega) \mid\|u\|_{m, p}<\infty\right\}S={u∈Cm(Ω)∣∥u∥m,p​<∞}进行完备化，得到的B空间记为$H^{m,p}(\Omega )$，特别地，当p=2时，记为$H^m(\Omega )$

（Dirichlet方程（边值为0）的函数集合）Poincare不等式：$C_0^m(\Omega )$表示在有界开区域$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$上的一切m次连续可微，且在边界的某邻域中取值为0的函数集合，则$\exists C(m,\Omega ),\forall \in C_0(\Omega ),{\sum }_{|\alpha |<m}{\int }_{\Omega }|{\partial }^{\alpha }u(x){|}^{2}dx\le C{\sum }_{|\alpha |=m}{\int }_{\Omega }|{\partial }^{\alpha }u(x){|}^{2}dx$

该引理表明仅包含m阶导数范数和包含小于等于m阶导数范数等价，从而设$C_0^m(\Omega )$按照仅含m阶的范数完备化的空间，记为$H_0^m(\Omega )$，为$H^m(\Omega )$的一个闭子空间，且其为一个Hilbert空间，内积定义为$(u.v{)}_m={\sum }_{|\alpha |=m}{\int }_{\Omega }{\partial }^{\alpha }u(x)\overline{{\partial }^{\alpha }v(x)}dx$