11、函数式与逻辑式编程的语义与计算方法

函数式与逻辑式编程的语义与计算方法

1. 模型论语义

在这部分，我们将介绍模型论语义，并展示其与重写演算CGORC的关系以及其受限使用情况。我们会用到语义域理论中的一些基本概念。

1.1 基本概念

• 偏序集（Poset） ：带有底部元素⊥的偏序集S，是一个由偏序关系⊑排序的集合，其中⊥是最小元素。Def(S)表示S中所有最大元素u的集合，也称为完全定义的元素。
• 有向集（Directed Set） ：X ⊆ S是有向集，当且仅当对于所有u, v ∈ X，存在w ∈ X，使得u, v ⊑ w。
• 锥（Cone） ：X是锥，当且仅当⊥∈X且X关于⊑是向下封闭的。
• 理想（Ideal） ：X是理想，当且仅当X是有向锥。我们分别用C(S)和I(S)表示S的锥集和理想集。I(S)按集合包含关系⊆排序，是一个以{⊥}为底部的偏序集，称为S的理想完备化。将每个u ∈ S映射到主理想⟨u⟩ = {v ∈ S | v ⊑ u}，可以得到一个保序嵌入。已知I(S)是使得S可以嵌入其中的最小完全偏序集（cpo）D。

基于这些结果，我们下面的语义构造可以用Scott域来重新表述。特别地，完全定义的元素u ∈ Def(S)对应于理想完备化中的有限且最大元素⟨u⟩。

为了表示非确定性的惰性函数，我们使用以偏序集为载体的模型，将函数符号解释为从元素到锥的单调映射。偏序集的元素被视为可能无限值的有限近似。对于给定的偏序集D和E，