2019牛客国庆集训派对day6 E Pair-Pair (分类讨论+前缀和 二维前缀和)

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1111/E
占坑有空补详解

code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define maxm 1006
#define ll long long int
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define sqr(x) (x*x)
#define inf (ll)2e18+1
#define mod 7
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
     while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
     return f*x;
}
int n,m;
int a[maxm][maxm],high[maxm],low[maxm],mid[maxm],b[maxn][2];
ll ans[5];
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        inc(i,1,n){
            b[i][0]=read();b[i][1]=read();
            a[b[i][0]][b[i][1]]++;
            if(b[i][0]<b[i][1])high[b[i][0]]++;
            else if(b[i][0]==b[i][1])mid[b[i][0]]++;
            else low[b[i][0]]++;
        }
        inc(i,1,m)inc(j,1,m)a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
        inc(i,1,m)high[i]+=high[i-1],mid[i]+=mid[i-1],low[i]+=low[i-1];
        inc(i,1,n){
            if(b[i][0]<b[i][1]){
                int tmp=0,t;
                t=high[m]-high[b[i][1]];
                tmp+=t,ans[4]+=t;
                t=low[m]-low[b[i][1]]+mid[m]-mid[b[i][1]];
                tmp+=t,ans[3]+=t;
                t=high[b[i][1]]-high[b[i][1]-1];
                tmp+=t,ans[3]+=t;
                t=high[b[i][1]-1]-high[b[i][0]];
                tmp+=t,ans[3]+=t;
                t=a[b[i][0]][m]-a[b[i][0]][b[i][1]];
                tmp+=t,ans[3]+=t;
                ans[2]+=n-tmp;
            }
            else if(b[i][0]==b[i][1]){
                int tmp=0,t;
                t=high[m]-high[b[i][1]];
                tmp+=t,ans[3]+=t;
                t=mid[b[i][0]];
                tmp+=t,ans[1]+=t;
                t=low[b[i][0]];
                tmp+=t,ans[1]+=t;
                ans[2]+=n-tmp;
            }
            else {
                int tmp=0,t;
                t=high[m]-high[b[i][1]];
                tmp+=t,ans[3]+=t;
                t=low[b[i][1]]+mid[b[i][1]];
                tmp+=t,ans[1]+=t;
                ans[2]+=n-tmp;
            }
        }
        printf("%lld %lld %lld %lld\n",ans[1],ans[2],ans[3],ans[4]);
        inc(i,1,m)inc(j,1,m)a[i][j]=0;
        inc(i,1,m)high[i]=low[i]=mid[i]=0;
        inc(i,1,4)ans[i]=0;
    }
    return 0;
}
### 前缀和算法概述 前缀和是一种用于快速计算数组区间和的技术。其核心思想是预先构建一个辅助数组 `prefix`,其中存储的是原数组从起始位置到当前位置的所有元素之和。这样,在后续查询任意区间的和时,可以通过简单的减法操作完成,而无需重复遍历整个区间。 定义如下: 给定数组 `arr` 的长度为 `n`,则前缀和数组 `prefix[i]` 表示从索引 0 到 i 所有元素的累加和[^1]: ```python prefix[0] = arr[0] for i in range(1, n): prefix[i] = prefix[i-1] + arr[i] ``` 通过上述方式预处理后,对于任何区间 `[l, r]` 的求和问题,可以直接利用公式 `sum(l, r) = prefix[r] - prefix[l-1]` 来高效解决(注意边界条件)。这种方法的时间复杂度为 O(n),而在多次查询的情况下效率显著提升。 --- ### 网上的前缀和相关题目及解析 网上提供了大量关于前缀和的应用场景练习题,帮助学习者深入理解这一概念并灵活运用它解决问题。以下是几个典型的例子及其解决方案简介[^3]: #### 题目一:子数组的最大平均数 I (LeetCode改编) **描述**: 给定整型数组 nums 和正整数 k ,找出该数组中连续 k 个数字组成的子数组最大可能的平均值是多少? **思路**: 使用滑动窗口配合前缀和技巧来优化时间性能。 实现代码片段如下所示: ```python def findMaxAverage(nums, k): prefix_sum = [0]*(len(nums)+1) for i in range(len(nums)): prefix_sum[i+1]=prefix_sum[i]+nums[i] max_avg=float('-inf') for j in range(k,len(prefix_sum)): current_window=(prefix_sum[j]-prefix_sum[j-k])/k if(current_window>max_avg): max_avg=current_window return max_avg ``` 此方法避免了每次重新计算窗口内的总和,从而提高了运行速度。 --- ### 更多资源推荐 除了实际编码训练外,还可以参考一些理论性的文章加深认识。例如,《算法设计手册》提到过类似的累积计数策略可用于更广泛的组合数学领域;另外像力扣官方博也有专门章节讲解动态规划与线性扫描相结合的最佳实践案例分享[^2]。 ---
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