【你哥电力电子】THE BOOST 升压斩波电路2

BOOST电路2

2023年1月12日 nige in Tongji University
#elecEngeneer

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6. CCM非理想能量守恒平均分析

考虑开关管的导通电阻 $R_S$ 、二极管器件的导通压降 $V_F$ 和等效平均电阻电阻 $R_F$、电感电容等效串联电阻 $R_L$、$R_C$
非理想BOOST电路

电感电压：
$$\{\begin{array}{ll}{v}_L=V_i-I_i(R_L+R_S)& ,开关S导通\\ v_L=V_i-I_i(R_L+R_F)-V_F-V_o& ,开关S关闭\end{array}$$
电感秒伏平衡
$$D\cdot [V_i-I_i(R_L+R_S)]=-(1-D)\cdot [V_i-I_i(R_L+R_F)-V_F-V_o]$$
$$I_i=⟨i_L⟩=I_L$$
解得
$$D=\frac{V_o+V_F-V_i+I_L(R_L+R_F)}{V_o+V_F+I_L(R_F-R_S)}\text{\hspace{1em}(33)}$$
观察开关网络部分，得到电流关系
$$⟨i_L⟩=\frac{⟨i_S⟩}{D}=\frac{⟨i_{Diode}⟩}{1-D}$$
$$⟨i_{Diode}⟩=I_R$$
$$so{I}_L=\frac{1}{(1-D)}{I}_R=\frac{1}{(1-D)}\frac{V_o}{R}=I_i$$
和理想时一样
代入式（33）有：
$$V_o=\frac{[V_i-(1-D)V_F]}{1-D}\cdot \frac{(1-D{)}^{2}R}{(1-D{)}^{2}R+R_L+D{R}_S+(1-D)R_F}\text{\hspace{1em}(34)}$$
由于开关网络上开关管永远流过电感在 $(0,D{T}_s)$ 内的电流，二极管流过电感在 $(D{T}_s,T_s)$ 内的电流
所以 BUCK 和 BOOST 开关网络的电流关系相同，能量守恒平均得到的等效电阻也相同
$$R_S^{\prime }=\frac{R_S}{D}\text{\hspace{1em}(35)}$$
$$R_F^{\prime }=\frac{R_F}{1-D}\text{\hspace{1em}(36)}$$
效率
$$\begin{array}{rl}\eta =\frac{P_{out}}{P_{in}}=\frac{I_R{V}_o}{I_i{V}_i}& =\frac{(1-D)V_o}{V_i}\\ & \\ & =\frac{V_i-(1-D)V_F}{V_i}\cdot \frac{(1-D{)}^{2}R}{(1-D{)}^{2}R+R_L+D{R}_S+(1-D)R_F}\\ & \\ & =\frac{1}{1+\frac{R_E}{R(1-D{)}^2}+\frac{V_F}{V_o}}\end{array}\text{\hspace{1em}(37)}$$
显然效率要高则 $R_E$，$V_F$ 要尽量小，其中
$$R_E=R_L+D{R}_S+(1-D)R_F\text{\hspace{1em}(38)}$$
模仿CCM下的理想稳态分析可得到纹波的计算公式
$$\Delta i_L=\frac{[V_i-I_i(R_L+R_S)]D{T}_s}{L}\text{\hspace{1em}(39)}$$
若电容提前放电，设提前放电时间为 $D{T}_s+k(1-D)T_s$ 则
$$k=\frac{I_{Lmax}-I_o}{\Delta i_L}=\frac{I_L+0.5\Delta i_L-I_o}{\Delta i_L}$$
滤波电容的有效电流比较难算，所以先不算滤波电容功率损耗了

6.1 CCM非理想大信号平均模型

由式（35、36）可得 CCM非理想大信号平均模型

6.2 CCM等效大信号平均模型

观察式（34，38），由分压公式
开关网络相当一个直流变压器
将 $V_F$ 等效至电感前，可得CCM等效大信号平均模型

6.3 CCM的DC电路模型

电容支路看作开路，电感看作短路，得到DC电路模型

6.4 CCM的小信号线性电路模型

对于BOOST电路的开关网络部分，在动态情况下，占空比输入可能存在微小扰动，所以三端开关网络的输入、输出部分也存在微小扰动
即 $v_{ap}=V_{ap}+{\hat{v}}_{ap}$，$i_a=I_a+{\hat{i}}_a$，$i_c=I_c+{\hat{i}}_c$

令含扰动的占空比为
$$d=D+\hat{d}$$
理想变比关系有
$$\begin{array}{rl}{i}_p=(1-d)i_c=(1-D-\hat{d})(I_c+{\hat{i}}_c)& =I_c+{\hat{i}}_c-D{I}_c-D{\hat{i}}_c-\hat{d}{I}_c-\hat{d}{\hat{i}}_c\\ & \\ v_{ac}=(1-d)v_{ap}=(1-D-\hat{d})(V_{ap}+{\hat{v}}_{ap})& =V_{ap}+{\hat{v}}_{ap}-D{V}_{ap}-D{\hat{v}}_{ap}-\hat{d}{V}_{ap}-\hat{d}{\hat{v}}_{ap}\end{array}$$
若扰动量远远小于平均值，则去掉小量乘积（高阶小量），线性化得到
$$\begin{array}{rl}{i}_p=(1-D-\hat{d})(I_c+{\hat{i}}_c)& =(1-D)(I_c+{\hat{i}}_c)-\hat{d}{I}_c\\ & \\ v_{ca}=-(1-D-\hat{d})(V_{ap}+{\hat{v}}_{ap})& =(1-D)(V_{pa}+{\hat{v}}_{pa})-\hat{d}{V}_{pa}\end{array}\text{\hspace{1em}(40)(41)}$$
根据上两式可以得到BOOST开关网络在CCM下的小信号等效电路模型

从而得到非理想的CCM小信号线性电路模型，其中去掉了直流部分。
注意输入量是小量，注意电压符号，反过来了

其中
$${\hat{i}}_L=I_c+{\hat{i}}_c$$
$$i_p={\hat{i}}_o=(1-D)(I_c+{\hat{i}}_c)-\hat{d}{I}_c=(1-D){\hat{i}}_L-\hat{d}{I}_L$$
$${\hat{v}}_o=V_{pa}+{\hat{v}}_{pa}$$
$$v_{ca}=(1-D)(V_{pa}+{\hat{v}}_{pa})-\hat{d}{V}_{pa}=(1-D){\hat{v}}_o-\hat{d}{V}_o$$

6.5 CCM非理想小信号传递函数

由小信号电路模型可以看出，传递函数由两部分组成，分别为等效直流变压器的两边
用信号与系统中练过的 s域模型分析方法与分压公式可求传递函数
电容：$\frac{1}{sC}$ ，电感：$sL$

6.5.1 求输出对占空比的传递函数

输入看作恒定值，则 ${\hat{v}}_i=0$，左边回路有
$$(1-D){\hat{v}}_o+{\hat{i}}_L(R_E+sL)-\hat{d}{V}_o=0$$
$${\hat{i}}_L=\frac{\hat{d}{V}_o-(1-D){\hat{v}}_o}{R_E+sL}$$
右边回路有
$$[(1-D){\hat{i}}_L-I_L\hat{d}]\cdot [(R_C+1/sC)//R]={\hat{v}}_o$$
由式（4）有
$$I_L=\frac{1}{(1-D)}\frac{V_o}{R}$$
联立上式消去 ${\hat{i}}_L$ 有
$$[(1-D)\cdot \frac{\hat{d}{V}_o-(1-D){\hat{v}}_o}{R_E+sL}-\frac{\hat{d}{V}_o}{(1-D)R}]\cdot \frac{(sC{R}_C+1)R}{sC(R_C+R)+1}={\hat{v}}_o$$
解得
$$G_{vd}(s)=\frac{{\hat{v}}_o}{\hat{d}}=\frac{V_o(sC{R}_C+1)[(1-D)R-(R_E+sL)/(1-D)]}{s^{2}LC(R_C+R)+s[C{R}_E(R_C+R)+(1-D{)}^{2}C{R}_{C}R+L]+R_E+(1-D{)}^{2}R}\text{\hspace{1em}(42)}$$

6.5.2 求输出阻抗

令 ${\hat{v}}_i=\hat{d}=0$ ，将原边等效电阻等效至副边有
$$\begin{array}{rl}{Z}_o(s)& =R//(R_C+1/sC)//\frac{(R_E+sL)}{(1-D{)}^2}\\ & \\ & =\frac{(1+sC{R}_C)R(sL+R_E)}{s^{2}LC(R_C+R)+s[C{R}_E(R_C+R)+(1-D{)}^{2}C{R}_{C}R+L]+R_E+(1-D{)}^{2}R}\end{array}\text{\hspace{1em}(43)}$$
与式（42）特征方程一样

6.5.3 求输入阻抗

令 $\hat{d}=0$ ，有
$$\begin{array}{rl}{Z}_i(s)& =\left[\right[R//(R_C+1/sC)](1-D{)}^2]+(R_E+sL)\\ & \\ & =\frac{s^{2}LC(R_C+R)+s[C{R}_E(R_C+R)+(1-D{)}^{2}C{R}_{C}R+L]+R_E+(1-D{)}^{2}R}{sC(R_C+R)+1}\end{array}\text{\hspace{1em}(44)}$$
分母是特征方程

6.5.4 求小信号传递函数

令 $\hat{d}=0$ ，左边回路有
$${\hat{v}}_i={\hat{i}}_L(R_E+sL)+(1-D){\hat{v}}_o$$
右边回路有
$$(1-D){\hat{i}}_L\cdot [(R_C+1/sC)//R]={\hat{v}}_o$$
右边回路解出 ${\hat{i}}_L$ 代入左边回路解得
$$\begin{array}{rl}A(s)=\frac{{\hat{v}}_o}{{\hat{v}}_i}& =\frac{(1-D)[(R_C+1/sC)//R]}{R_E+sL+(1-D{)}^2[(R_C+1/sC)//R]}\\ & \\ & =\frac{(1-D)\cdot (1+sC{R}_C)R}{s^{2}LC(R_C+R)+s[C{R}_E(R_C+R)+(1-D{)}^{2}C{R}_{C}R+L]+R_E+(1-D{)}^{2}R}\end{array}\text{\hspace{1em}(45)}$$

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7. CCM理想状态空间平均分析

取电感电流与电容电压为状态变量有
S导通：
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_L\\ u_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -\frac{1}{RC}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_L\\ u_C\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right]v_i\text{\hspace{1em}(46)}$$
S关闭：
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_L\\ u_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}& -\frac{1}{RC}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_L\\ u_C\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right]v_i\text{\hspace{1em}(47)}$$
（46）乘 D 加（47）乘（1-D）得大信号状态空间平均模型
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{I}_L\\ V_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{1-D}{L}\\ \frac{1-D}{C}& -\frac{1}{RC}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_L\\ V_C\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right]V_i\text{\hspace{1em}(48)}$$
加入扰动
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{I}_L+{\hat{i}}_L\\ V_C+{\hat{u}}_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{1-D-\hat{d}}{L}\\ \frac{1-D-\hat{d}}{C}& -\frac{1}{RC}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_L+{\hat{i}}_L\\ V_C+{\hat{u}}_C\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right](V_i+{\hat{v}}_i)$$
减去式（48），$V_C=V_o$
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_L\\ {\hat{u}}_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \frac{\hat{d}}{L}\\ -\frac{\hat{d}}{C}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_L\\ V_o\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{1-D-\hat{d}}{L}\\ \frac{1-D-\hat{d}}{C}& -\frac{1}{RC}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_L\\ {\hat{u}}_C\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right]{\hat{v}}_i$$
线性化去除高阶小量
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_L\\ {\hat{u}}_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{1-D}{L}\\ \frac{1-D}{C}& -\frac{1}{RC}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_L\\ {\hat{u}}_C\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{V_o}{L}\\ -\frac{I_L}{C}\end{array}\right]\hat{d}+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right]{\hat{v}}_i$$
做 Laplace 变换，取初值为0
$$s\left[\begin{array}{c}{\hat{I}}_L(s)\\ {\hat{V}}_C(s)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{1-D}{L}\\ \frac{1-D}{C}& -\frac{1}{RC}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{I}}_L(s)\\ {\hat{V}}_C(s)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{V_o}{L}\\ -\frac{I_L}{C}\end{array}\right]\hat{d}(s)+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right]{\hat{v}}_i(s)$$
有
$$sC{\hat{V}}_C(s)=(1-D){\hat{I}}_L(s)-\frac{1}{R}{\hat{V}}_C(s)-I_L\hat{d}(s)$$
$$sL{\hat{I}}_L(s)=-(1-D){\hat{V}}_C(s)+V_o\hat{d}(s)+{\hat{v}}_i(s)$$
代入 ${\hat{v}}_i=0$ ，代入式（4），消去 ${\hat{I}}_L(s)$ 有
$$\frac{{\hat{V}}_C(s)}{\hat{d}(s)}=\frac{V_o[(1-D)R-sL/(1-D)]}{s^{2}CLR+sL+(1-D{)}^{2}R}\text{\hspace{1em}(49)}$$
与式（42） $R_E=R_C=0$ 时候的公式相同

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