RSA HDU1211

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扩展欧几里得

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本文介绍了RSA加密解密算法的实现过程，包括选择大素数p和q，计算n和φ(n)，并找到满足d×e≡1(mod φ(n))的d。提供了两种方法求解d：暴力搜索和扩展欧几里得算法，并展示了如何将明文转换为密文及反向操作。

题意：题目介绍的是一种加密解密的算法，选择两个大整数 p 和 q，计算 $n = p \times q$ ， $F(n) = (p-1)\times(q-1)$ 。计算得出 $d \times e \% F(n) = 1 \% F(n)$ 。然后给你一段明文，你就可以通过 $C = E(m) = m^e \% n$ 把明文中的字符 m 变成密文。给你一段密文，可以通过 $M = D(c) = c^d \%n$ 把密文中的字符 c 变成明文。题目要求的是给我们一段密文，然后把它变成明文。

思路：输入给我们了 p, q, e，我们也就知道了 F(n) 和 n，现在只需要去求 d。
第一种方法是采用暴力，找到满足 $d \times e \% F(n) = 1 \% F(n)$ 的 d。
第二种方法是采用扩展欧几里得，因为 $d \times e \% F(n) = 1 \% F(n)$ ，所以 d 是 e 关于 F(n) 的逆元，用扩展欧几里得求一下就好。

采用暴力的方法
代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
#include<utility>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

int p, q, e, l;
int n, fn;

int Pow(int a, int b)
{
    int r = 1, base = a;
    while(b){
        if(b&1) r = r*base %n;
        base = base*base %n;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d%d", &p, &q, &e, &l) == 4){
        n = p*q;
        fn = (p-1)*(q-1);
        int d = 1;
        while(d*e %fn != 1){
            d++;
        }
        for(int i=0; i<l; i++){
            int tmp;
            scanf("%d", &tmp);
            printf("%c", Pow(tmp, d)%n);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

采用扩展欧几里得的方法

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
#include<utility>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

int p, q, e, l;
int n, fn;

int Pow(int a, int b)
{
    int r = 1, base = a;
    while(b){
        if(b&1) r = r*base %n;
        base = base*base %n;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}

void ExtendGcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else{
        ExtendGcd(b, a%b, y, x);
        y -= (a/b)*x;
    }
}

int GetReverse(int a, int b)
{
    int x, y;
    ExtendGcd(a, b, x, y);
    return x;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d%d", &p, &q, &e, &l) == 4){
        n = p*q;
        fn = (p-1)*(q-1);
        int d = GetReverse(e, fn);
        d = (d%fn+fn) %fn;
        for(int i=0; i<l; i++){
            int tmp;
            scanf("%d", &tmp);
            printf("%c", Pow(tmp, d)%n);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}