并查集

定义：并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。

在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这样的问题看起来似乎很简单，每次直接暴力查找即可，但是我们需要注意的问题是，在数据量非常大的情况下，那么时间复杂度将达到O（N*n）(n为查询次数)，那么这类问题在实际应用中，如果采取上述方法去做的话，耗费的时间将是巨大的。而如果用常规的数据结构去解决该类问题的话（顺序结构，普通树结构等），那么计算机在空间上也无法承受。所以，并查集这种数据结构便应运而生了。
 

举个十分经典的例子：

话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。整天背着剑在外面走来走去，碰到不是一路人的，就要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，都认为是自己人。这样，江湖上就形成了一个个群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？

我们可以在每个朋友圈内推举出一个有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。

下面我们来看并查集的实现。int pre[1000] 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1开始编号，pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的。。每个人都只认自己的上级。find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过

int find (int x)
{
    int r=x;
    while (pre[r ]!=r)//判断是否是根节点
        r=pre[r ] ;//不是往上接着查找
    return r ;
}

那么，还有一个问题，怎么把记录门派记录下来，当两人成为朋友时，他们所在的门派也全都是朋友的朋友了，这个时候，我们只要找到他们的掌门，把其中一个的掌门改成另一个（原来是他本身），这样两个门派就变成一个门派了。

void join (int x,int y)
{
    int fx= find (x),fy= find (y);
    if(fx != fy)
        pre [fx ]= fy;//如果两个元素不在一个集合中，则合并
}

建立门派的过程是用join函数两个人连接起来的，谁当谁的手下随机。路径压缩就是把所有人的上级直接指向掌门，这样可以减少处理的范围。

int find (int x){
    int r=x;
    while ( pre[r ] != r )
        r=pre[r ];
    int i=x , j ;
    while ( i != r ){
        j = pre[ i ];
        pre [ i ]= r ;
        i=j;
    }
    return r ;
}

在并查集的基础上，对其中的每一个元素赋有某些值。在对并查集进行路径压缩和合并操作时，这些权值具有一定属性，在这种情况下，需要对程序进行一些改动（视情况而定），常将他们与父节点的关系，变化为与所在树的根结点关系。

某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。当N为0时，输入结束，该用例不被处理

对每个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

题解：先把所有边按从小到大的顺序排序。然后，逐个选取，在选取的过程中，如果查询到两个端点不在同一个集合，那么必然选择它作为最小生成树的一部分，并合并这两个端点。如果查询到这两个端点在同一个集合里，那么继续选取下一条边，直至选取了n-1条边，算法结束。算法复杂度为排序的复杂度。O(e*log(e))

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 10000
using namespace std;
int pre[MAXN];
struct node{
	int x,y;
	int len;
};
node s[MAXN];
bool cmp(node a,node b){
	return a.len<b.len;
}
int find(int x)
{
	int r=x;
	while(pre[r]!=r)
		r=pre[r];
/*	int i=x,j;
	while(i!=r)
	{
		j=pre[i];
		pre[i]=r;
		i=j;
	}*/
	return r;
}
void join(int x,int y)
{
	int fx=find(x),fy=find(y);
	if(fx != fy)
		pre[fy]=fx;//将两个集合合并 
}
int main()
{
	int n,m; 
	while(~scanf("%d",&n) && (n))
	{
		int i,j;
		int ans=0,count=0;
		m=n*(n-1)/2;
		for(i=1 ; i<=n ; i++)
			pre[i]=i;//初始化为每一个数为一个集合 
		for(i=1 ; i<=m ; i++){
			scanf("%d %d %d",&s[i].x,&s[i].y,&s[i].len);
		}
		sort(s+1,s+m+1,cmp);
		for(i=1 ; i<=m ; i++){
			if(find(s[i].x)!=find(s[i].y)){
				join(s[i].x,s[i].y);
				ans+=s[i].len;
				count++;
			}
			if(count==n-1)//最多有n-1条边 
				break; 
		}	
		printf("%d\n",ans);	
	}
	return 0;
}