20、有限元 - 边界元方法（FEM - BEM）详解

有限元 - 边界元方法（FEM - BEM）详解

1. FEM - BEM 简介

在辐射和散射模拟中，吸收边界条件至关重要。此前考虑的吸收边界条件有单向波方程的离散化和完美匹配层。另一种开发吸收边界条件（ABC）或辐射边界条件的方法是在域的边界上使用表面积分方程。

将有限元方法（FEM）与边界上的表面积分方程相结合，通常称为 FEM - BEM 方法，偶尔也称为有限元 - 边界积分方程（FEM - BIE）方法。

2. FEM - BEM 线性系统推导

为推导 FEM - BEM 算法的线性系统，这里采用加权残值法。对于亥姆霍兹方程((∇^2 + k^2)φ = f)，其残差误差为：
(r = ∇^2φ + k^2φ - f) (8.66)
与一组测试函数(t_m(r))形成内积并令结果为零，得到：
(\langle t_m, r\rangle = \int_V t_m(\nabla^2φ + k^2φ - f)dV = 0) (8.67)
这就是偏微分方程（PDE）的弱形式。通过类似推导可得 PDE 的弱形式为：
(\int_V (\nabla t_m · \nabla φ - t_mk^2φ)dV - \int_S t_m\frac{\partial φ}{\partial n}dS = -\int_V t_m f dV) (8.68)
方程左边第一项会产生 FEM 类型的线性系统，第二项会产生一个耦合矩阵，将 FEM 线性系统与表面积分方程的 BEM 线性系统联系起来。

为离散该方程，需要域(V)内部解的未知量和边界上场的法向导数的未知量。在(V)内部，将未知场展开为基函