19、有限元方法：原理与二维亥姆霍兹方程应用

有限元方法：原理与二维亥姆霍兹方程应用

1. 有限元方法概述

有限元方法（FEM）是一种稀疏矩阵方法。与之相对的是基于积分方程的数值方法，这类方法本质上是用与核函数或格林函数的卷积来替代方程中的导数。卷积会将具有局部支撑的函数转变为在整个网格上都有支撑的函数，从而产生一个稠密的矩量矩阵。

FEM 产生稀疏矩阵，而积分方程的矩量法（MoM）通常会得到稠密矩阵，这是这两类数值方法在性能上的一个关键权衡点。稀疏矩阵可以高效存储，因为零矩阵元素无需在内存中保留，而大型稠密矩阵则需要极高的内存。对于条件良好的线性系统，求解稀疏线性系统的计算成本通常低于稠密线性系统。不过，对于表面积分方程，使用 MoM 时矩阵规模可能比 FEM 小，因为只需对物体表面进行网格划分，并且如果采用快速多极子方法（FMM）算法，矩量矩阵无需显式填充。因此，FEM 和 MoM 的相对效率在很大程度上取决于待解决问题的类型和具体实现细节。

2. 有限元方法的边界条件

2.1 边界条件的重要性

与有限差分时域（FDTD）方法一样，FEM 算法需要在模拟域的边界上对解施加约束条件。狄利克雷（Dirichlet）和诺伊曼（Neumann）条件相对容易处理，而其他边界条件，如吸收边界条件（ABC），实现起来可能更困难，但在 FEM 用于辐射和散射问题的实际应用中至关重要。

2.2 常见边界条件类型

• 狄利克雷条件 ：在边界上，未知势具有指定的值，表达式为 $\varphi(r)|_{r\in\Omega} = h(r)$，其中 $\Omega$ 是域的边界。实现此边界条件只需将边界上所