9、数值积分方法全解析

数值积分方法全解析

1. 高斯 - 勒让德求积法

高斯 - 勒让德求积法是数值积分中的重要方法，其权重和节点对于不同阶数有特定的值，如下表所示：
| N | xn | wn |
| — | — | — |
| 2 | ±0.577350 | 1.000000 |
| 3 | 0 | 0.888889 |
| | ±0.774597 | 0.555556 |
| 4 | ±0.339981 | 0.652145 |
| | ±0.861136 | 0.347855 |
| 5 | 0 | 0.568889 |
| | ±0.538469 | 0.478629 |
| | ±0.906180 | 0.236927 |

权重可以通过公式 ( w_k = \frac{2}{(1 - x_k^2)[P_N’(x_k)]^2} ) 进行简化计算，其中 ( P_N’(x_k) ) 是勒让德多项式的导数。计算该导数时，可以使用中心差分近似，但递归关系能提供精确的闭式解。

2. 非经典高斯求积规则

经典高斯求积规则适用于已知正交多项式闭式形式的常见权重函数。原则上，对于任何可积的权重函数都能得到高斯求积规则。在正交多项式不易获得的情况下，传统方法存在数值不稳定问题，直到 Sack 和 Donovan 提出使用勒让德多项式作为多项式空间的基，解决了这一问题。Ma 等人的暴力非线性求解器也可用于寻找非经典权重函数的高斯求积规则。

另一种计算非经典权重函数高斯求积规则的方法与线性代数相关。具体步骤如下：
1. 选择辅助求积规则