DeepSeek做组合数学题：求只由数字1、2、3组成且同时包含数字1、2、3的5位数有多少个？

1. 题意理解

题目要求：

1. 是一个 5 位数（万位不能是 0）。
2. 只由数字 1、2、3 组成，不能出现其他数字（0、4、5…等都不允许）。
3. 必须同时包含数字 1、2、3（即：不能只用两个数字或一个数字）。

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5 位数的每一位从 {1, 2, 3} 中选取，但是“必须同时包含 1、2、3”意味着三个数字都要出现至少一次。

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2. 不考虑“必须包含 1,2,3”时

如果只由 {1,2,3} 组成的 5 位数：
万位可以从 {1,2,3} 中选（3 种选择），其它四位也是各 3 种选择。
$\text{总数}=3^5=243$

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3. 用容斥原理去掉缺少某个数字的情况

设
$B_1$：不含数字 1（只由 {2,3} 组成）
$B_2$：不含数字 2（只由 {1,3} 组成）
$B_3$：不含数字 3（只由 {1,2} 组成）

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计算 $|B_1|$
只由 {2,3} 组成 5 位数，万位可以是 2 或 3（2 种），其它位也是各 2 种选择。
$|B_1|=2^5=32$

同理 $|B_2|=32$，$|B_3|=32$。

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计算 $|B_1\cap B_2|$
不含 1 且不含 2 → 只能由 {3} 组成。
万位只能是 3，其它位也只能是 3。只有 1 种情况：33333。
$|B_1\cap B_2|=1$

同理 $|B_1\cap B_3|=1$（只能由 {2} 组成：22222）
$|B_2\cap B_3|=1$（只能由 {1} 组成：11111）

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计算 $|B_1\cap B_2\cap B_3|$
不含 1、2、3 → 没有可用数字，所以为 0。

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4. 容斥原理求至少缺少 1,2,3 之一的个数

$|B_1\cup B_2\cup B_3|=32+32+32-(1+1+1)+0$

$=96-3=93$

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5. 求“三个数字都至少出现一次”的个数

$\text{答案}=3^5-|B_1\cup B_2\cup B_3|$
$=243-93=150$

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最终答案为：
$\boxed{150}$

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验证：
也可以用直接分类（用 1,2,3 的数目分别为 ((3,1,1)) 型及其排列），以及 ((2,2,1)) 型分别计算，加起来应为 150。