Chook_lxk的博客

巴什博弈(Bash Game)有一堆n个物品，两个人轮流拿，最少拿一个，最多拿k个，拿到最后的人胜利。 结论： 必败点为n % (k+1) = 0。 证明： 如果n = t(k+1):先手拿m个，后手可以拿(k+1-m)，剩下物品数为(k+1)(t-1)，还是必败点，所以后手总能拿到最后一个。 如果n = t(k+1) + m,先手先拿m个，后手将面临必败点，先手胜利。 例题： ...

威佐夫博弈(Wythoff’s Game)有两堆物品分别为(an, bn)。两个人轮流取，至少取一个，有两种取法，取到最后一个者胜利。 1.从任意一堆中取任意个 > 1。 2.从两堆中取同样多个。 结论： 对于任意的局势(a, b)(a < b),必败点为(b-a) * (sqrt(5)+1)/2 = a. 证明： 第一个必败点为(0, 0)，即谁面对当前局势必输。 ...

尼姆博弈(Nimm Game)有3堆任意多的物品(x, y, z)。两个人轮流拿，每次只能从一堆中拿，至少拿一个，至多不限。拿到最后者胜利。 结论： 必败点为 x^y^z = 0。(^为异或) 证明： 如果当前局势为(0,0,0)。先手肯定输。其中0^0^0=0 如果当前局势为(0,n,n)。先手肯定输。因为无论先手怎么拿，后手都可以从另一堆里拿相同多个。最终转化成(0,0,0)的情...

斐波那契博弈(Fibonacci Nim)有一堆n个物品，两个人轮流拿，拿到最后一个的人获胜。拿的规则如下： 1.每个人最少拿一个，第一次先手不能一次全拿完。 2.每次最多可拿对手上一次拿的两倍。 结论： 先手胜利当且仅当物品数n不为Fibonacci数。 证明： 首先需要了解Fibonacci的性质：(2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55··· ···) 1.f...