算法实现题 1-1 统计数字问题

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本文介绍了一种高效算法，用于统计1至n范围内每个数字的出现次数，特别适用于大数据范围（1≤n≤1e9）。通过数学推导得出f(n)=n*10^(n-1)的规律，并使用递归方法解决前导0的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

##统计数字问题##
问题描述：
给出n,遍历1~n,统计每个数字的出现次数，没有前导0(1 <= n <= 1e9)。
思路：
数据范围太大，所以不能暴力。

一个n位数，从n个0到n个9一共10^n个数。在这n个数中，0~9出现次数相同(加上前导0)，设为f(n).
当n = 1时， f(n) = 1;
当n > 1时，f(n) = 10 * f(n-1) + 10^(n-1);
由此可知：f(n) = n * 10^(n-1);

例如：23456

除去最高位，剩下的四位满足0000到9999的所有数，所以满足f(n)函数，最高位2，即答案为2 * f(n) (0000~9999, 10000~19999);
考虑最高位，最高位为0，1分别是10000次。最高位为2时共有3456+1次。
对余下的3456进行递归，当余下0时递归结束。
4.减去前导0的个数。
代码：

/*
    f(n) = n * 10 ^ (n-1);
*/
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 10 + 5;
int cnt[maxn];
int n;

void solve(int n) {
    int len = log10(n)+ 1;//n的位数
    //len-1位满足f(n)公式， 共n / (pow(10.0, len-1)) 个区间
    int p = n / ((int)pow(10.0, len-1));
    
    for(int i = 0; i <= 9; i++) {
        cnt[i] += p * (len-1) * (int)pow(10.0, (len-2));
    }
    //最高位的数出现次数
    for(int i = 0; i < p; i++) {
        cnt[i] += (int)pow(10.0, (len-1));
    }
    cnt[p] += 1 + n % ((int)pow(10.0, len - 1));
    //递归关系边界
    int t = n % ((int)pow(10.0, len - 1));
    //判断n中是否存在0
    if(t == 0) {
        if(len-1 > 0) {
            cnt[0] += len-1;
        }    
        return;
    }
    else if(len - (log10(t)+1) > 1) {
        cnt[0]+=(len - (log10(t)+1)-1) * t;
    }
    return solve(t);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    while(cin >> n, n) {
        fill(cnt, cnt + maxn, 0);
        solve(n);
        //减去前导0的个数
        int len = log10(n) + 1;
        for(int i = 1; i <= len; i++) {
            cnt[0] -= (int)pow(10.0, (i - 1));
        }
        for(int i = 0; i <= 9; i++) {
            if(i == 0) cout << cnt[i];
            else cout << ' ' << cnt[i];
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}