Dijkstra算法

１  最短路径算法

在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：

（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。

２  Dijkstra算法

2.1  Dijkstra算法

　　Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。　

2.2  Dijkstra算法思想

Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2.3  Dijkstra算法具体步骤　　

（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。

2.4  Dijkstra算法举例说明

如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）

图一：Dijkstra无向图

 

#include <stdio.h>
 #define MAXLENTH 50
 #define MAX 9999
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[MAXLENTH][MAXLENTH])
{
 
    bool s[MAXLENTH];    
 int i,j;
    for(i=1; i<=n; ++i)
    {
        dist[i] = c[v][i];
  
        s[i] = false;    
        if(dist[i] == MAX)
            prev[i] = 0;
        else
            prev[i] = v;
    }
    dist[v] = 0;
    s[v] = true;
 
   
    for(i=2; i<=n; ++i)
    {
        int t = MAX;
        int u = v;
       
        for(j=1; j<=n; ++j)
            if((!s[j]) && dist[j]<t)
            {
               
                 u = j;            
                t = dist[j];
            }
   
        s[u] = true;    
 
       
        for(j=1; j<=n; ++j)
            if((!s[j]) && c[u][j]<MAX)
            {
                int newdist = dist[u] + c[u][j];
                if(newdist < dist[j])
                {
                    dist[j] = newdist;
                    prev[j] = u;
                }
            }
    }
}
 
void searchPath(int *prev,int v, int u)
{
    int que[MAXLENTH];
    int tot = 1;
    que[tot] = u;
    tot++;
    int tmp = prev[u];
    while(tmp != v)
    {
        que[tot] = tmp;
        tot++;
        tmp = prev[tmp];
    }
    que[tot] = v;
    for(int i=tot; i>=1; --i)
        if(i != 1)
   printf("%d -> ",que[i]);
        else
            printf("%d\n",que[i]);
}
 
int main()
{
    int dist[MAXLENTH];     // 表示当前点到源点的最短路径长度
    int prev[MAXLENTH];     // 记录当前点的前一个结点
    int c[MAXLENTH][MAXLENTH];   // 记录图的两点间路径长度
    int n, r;             // 图的结点数和路径数
 int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度
 int i,j;
 
    // 输入结点数
 printf("please input the num of the point:");
 scanf("%d",&n);
    // 输入路径数
 printf("please input the num of the edge:");
 scanf("%d",&r);
   
 
    // 初始化c[][]为MAX
    for(i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            c[i][j] = MAX;
 
    for(i=1; i<=r; ++i) 
    {
        printf("please input the value of the %dth edge:",i);
  scanf("%d %d %d",&p,&q,&len);
  
        if(len < c[p][q])      
        {
            c[p][q] = len;      // p指向q
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图
        }
    }
 
    for(i=1; i<=n; ++i)
        dist[i] = MAX;
    for(i=1; i<=n; ++i)
    {
        for(j=1; j<=n; ++j)
            printf("�", c[i][j]);
        printf("\n");
    }
 
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
 
   
 printf("the shortest route length is :%d\n",dist[n]);
 
 printf("the first piont to the last point route:");
    searchPath(prev, 1, n);
}