图算法(3):Floyd-Warshall算法

最新推荐文章于 2024-07-10 17:04:19 发布

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#图 #全源最短路 #Floyd

Floyd-Warshall算法是解决全源最短路径问题的算法，适用于有向图和负权图。该算法时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。它通过动态规划策略更新所有点对之间的最短路径，可以处理单源最短路径问题的推广。滚动数组优化可以减少空间需求。常见用于稠密图，与Johnson算法相比，对于稀疏图Johnson算法更优。

　　Floyd-Warshall算法（英语：Floyd-Warshall algorithm），中文亦称弗洛伊德算法，是解决任意两点间的最短路径的一种算法，即全源最短路径问题（All-Pairs Shortest Paths Problem），可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N^3)[3]，空间复杂度为O(N^2)。

　　解决单源最短路径问题的方案有 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法，对于全源最短路径问题可以认为是单源最短路径问题（Single Source Shortest Paths Problem）的推广，即分别以每个顶点作为源顶点并求其至其它顶点的最短距离。更通用的全源最短路径算法包括：
　　针对稠密图的 Floyd-Warshall 算法：时间复杂度为 O(V3)；
　　针对稀疏图的 Johnson 算法：时间复杂度为 O(V2logV + VE)；

原理：
　　Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。
　　
　　最外层一维空间可以省略，因为D[k]只与Dk-1]有关。在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。

算法描述：

1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
2 for each vertex v
3    dist[v][v] ← 0
4 for each edge (u,v)
5

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