Floyd_Warshall算法详解及实现（多源最短路径）

1.预设场景

小明要去这样的城市旅游（城市交通图如下），为了减轻经济负担，小明想知道任意两个城市之间的最短路径。

从图中，可以得到：小明打算去4个城市（节点数）旅游，而这4个城市之间有8条公路（边数）连通，公路上的数字（权重）表示这条公路的长短。
现在需要设计一种算法求得任意两个城市之间的最短路径，也就是任意两个点之间的最短路径。该问题的求解也被称为“多源最短路径”。

2.数据结构描述

通常，在存储图的信息时，可以采用二维矩阵来表示。
在案例中，有四个城市，可以用一个5*5的二维矩阵e来存储信息（二维矩阵的0行和0列不存储信息）。比如：1号城市到2号城市的距离为2，则e[1][2] = 2；2号城市没有路可以到达4号城市，则e[2][4] = ∞（INT_MAX）。另外，规定一个城市自己到自己的路程也是0，即e[1][1] = 0。
按照上述描述，初始的二维矩阵如下：

3.Floyd_Warshall具体过程

在求得任意两个节点之间的最短距离时，可以认为初始化矩阵（上图）中的距离即为最短，然后通过引入其他城市作为中间节点，更新这个距离。
通过观察可以发现，每个顶点都有可能使得另外两个顶点之间得路程变短（e[4][1]+e[1][3] = 11 < e[4][3] = 12。而且当任意两个节点之间不允许经过第三个点时，这些城市之间得最短路径就是初始路程。
具体过程如下：

1. 先将二维矩阵初始化为“2.数据结构描述”中所要求的。
2. 只允许经过1号顶点（中间节点为1），求任意两点之间的最短路径：只需判断e[i][1]+e[1][j]是否小于e[i][j]，如果e[i][1]+e[1][j] < e[i][j]，则更新i->j的最短距离。e[i][j]表示i号顶点到j号顶点的距离。e[i][1]+e[1][j]表示i号顶点到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的距离之和。
   具体代码实现如下：

for (int i = 1; i <= vertice; i++)
            {
   
   
                for (int j = 1; j <= vertice; j++)
                {
   
   
                    if (e[i][1] < INT_MAX && e[1][j]<INT_MAX && e[i][j] > e[i][1] + e[1][j])
                    {
   
   
                        e[i][j] = e[i][1] + e[1][j];
                    }
                }
            }

在只允许经过1号顶点（中间节点为1）的情况下，任意两个顶点之间的最短距离更新为：

3. 判断在允许经过1号顶点和2号顶点的情况下，任意两个顶点之间的路径是否会变得更短。因为第1步已经判断过1号顶点为之间节点，所以在本次判断1号节点和2号节点时只需要在步骤1的结果上加入2号节点即可，也就是：只需判断e[i][2]+e[2][j]是否小于e[i][j]，如果e[i][2]+e[2][j] < e[i][j]，则更新i->j的最短距离。e[i][j]表示i号顶点到j号顶点的距离。e[i][2]+e[2][j]表示i号顶点到2号顶点，再从2号顶点到j号顶点的距离之和。

for (int i = 1; i <= vertice; i++)
            {
   
   
                for (int j = 1; j <= vertice; j++)