leetcode解题：动态规划（上）

首先讲一点：动态规划（Dynamic Programming）的名字有些言过其实，“$Programming$”的意思不是“编程”，这里指的是“递推”的意思，没有高瞻远瞩的意思，也没有计划未来什么事情的意思。
这里主要讲四点：

• 递归+记忆化 -> 递推
• 状态的定义：$opt[n],dp[n],fib[n]$
• 状态转移方程：$opt[n]=best\_of(opt[n-1],opt[n-2],...)$
• 最优子结构

例子：斐波那契数列

$0,1,1,2,3,5,8,13,21,...$
递推公式：$F[n]=F[n-1]+F[n-2]$

先看上面这张图的左上角是斐波那契数列的递推公式；右上角是代码，不过这个代码写的并不简洁，可以改写为:

def fib(n):
	return n if n <= 1 else fib(n-1)+fib(n-2)

上面是斐波那契数列最普通的递归算法。递归加上记忆化 就是递推，看下图：

这幅图跟第一个图的区别在哪儿？区别在右上角的代码部分，其中增加了“记忆代码（即，memo数组）”，求解顺序也就变了，变成从下往上推（从fib(0)往上推fib(6)）。
所以说：递归+记忆化 ==》递推；递推公式：$F[n]=F[n-1]+F[n-2]$

例子：COUNT THE PATHS

从开始位置到结束位置，小人只能往右或往下走，遇到石头不能走，问一共有多少种走法。

递归的思路是从开始位置走，一直到结束位置。
递推的思路是从结束位置开始，走到开始位置。
看下面递推的走法：

它的状态转移方程：

opt[i, j] = opt[i-1, j] + opt[i, j-1]
======================================
if a[i, j] == '空地'：
	opt[i, j] = opt[i-1, j] + opt[i, j-1]
else: // 石头
	opt[i, j] = 0

从结束位置开始往上递推，就有了下面这幅图，方格子里面的数字就是“记忆体”，表示从当前位置到结束位置的走法总数，特别注意数字指的是一共有多少种走法。

不要从开始位置走，很容易回溯（递归），越走越迷糊。（坚信递推公式是正确的）
看一下递推的时间复杂度：$O(m\ast n)$
总结：

• 一定要递推！！（尽量不要用递归+记忆化的方式）
• 状态的定义：$opt[n]，dp[n]，fib[n]$。斐波那契数列的状态定义为一维数组$fib[n])$，count the paths的状态定义为二维数组$opt[i,j]$。
• 状态转移方程：$opt[n]=best\_of(opt[n-1],opt[n-2],...)$
• 最优子结构：当前状态取决于前一个状态，和之后的更多过去状态都无关。

DP vs 回溯 vs 贪心

• 回溯（递归）-重复计算
• 贪心-永远局部最优
• DP-记录局部最优子结构/多种记录值，集前两者之大成。