4、布尔算术：计算机运算的基础

布尔算术：计算机运算的基础

1. 算术运算概述

通用计算机系统需要对有符号整数执行多种算术运算，主要包括：
- 加法
- 符号转换
- 减法
- 比较
- 乘法
- 除法

我们将从开发实现加法和符号转换的门逻辑开始，后续会展示如何基于这两个基础构建块来实现其他算术运算。在数学和计算机科学中，加法是一个看似简单却意义深远的操作。令人惊讶的是，数字计算机执行的所有功能（不仅仅是算术运算）都可以归结为二进制数的加法。因此，深入理解二进制加法是理解计算机硬件执行的许多基本操作的关键。

2. 二进制数

在十进制系统中，像 6083 这样的代码表示一个数字，每个数字的值取决于基数 10 以及它在代码中的位置。在二进制表示中，例如代码 10011，我们使用基数 2 按照相同的方法来计算其值。

计算机内部的所有信息都用二进制代码表示。当我们在键盘上输入 1、9 并按下回车键时，计算机内存中存储的是二进制代码 10011。当我们要求计算机在屏幕上显示这个值时，计算机会先将 10011 转换为十进制值 19，然后将整数 19 转换为字符 1 和 9，查找当前字体获取对应的位图图像，最后控制屏幕驱动点亮或熄灭相关像素，整个过程在极短时间内完成。

计算机使用固定字长来表示数字，常见的有 8 位、16 位、32 位或 64 位寄存器。固定字长意味着这些寄存器能表示的值是有限的。例如，使用 8 位寄存器表示非负整数时，从 00000000 到 11111111 可以表示 0 到 255 的所有整数。一般来说，使用 n 位可以表示从 0 到 (2^n - 1) 的所有非负整数。