谈数系扩充

           好早就想写一篇关于数学的文章了，可惜我这人一直很懒，想法在脑里憋了很久才在此时爆发～一方面最近也比较忙，没时间写些东西。其实多写写还是有好处的（尽管我写的不好），从小就缺乏文学素养的我也应该练练了～嘎嘎～

          OK～话不多说开始聊咱们的正题吧～首先声明本人不是什么专业叫兽，只是一个学生，所以见解有时难免肤浅。

          数学的构建模式都是从一套公理系统出发依次创建其分支的，数系的构建也是如此的。数系的最底层是自然数N，依次往上是有理数Q、实数R、复数C和四元数，四元数以上不能在扩充了。而扩充的原则总是先有一个集合然后分析这个集合的性质，然后定义一些人们意想的他还应该有的性质（比如完备性、对某运算封闭）基于此在原有的集合和上在加上满足此性质的元素，如此这般便完成了扩充。整个过程可以说是一种质的飞跃。

         自然数N是人们最先认识到的数学的概念，日常数数、记账、记录日期等等都离不开自然数。可以说自然数是数系的最底层。自然数抽象于集合的元素个数，假如我们对集合里的元素不加区别，值关心它里面的元素个数，则把元素个数相同的记为一类如此去定义自然数。比如0就对应于空集、1就对应于单元素集、2对应于两个单因素集的并、如此下去。。。这样子定义的自然数称为基数（抽象与计数）。另一种定义自然数的方法是由G.皮亚诺给出的。

根据皮亚诺的公理自然数被定义为一个集合N和映射S的二元组，并满足以上性质：

（a）.1属于N

（b）.S是单射

（c）.假若M包含于N，且具有以下两条性质：

(i). 1属于M

(ii).