最短路径

一、路径的概念

在一个无权图中，若从一顶点到另一顶点存在着一条路径，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它等于该路径上的顶点数减1。

由于从一顶点到另一顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，我们把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。

对于带权图，考虑路径上各边上的权值，则通常把一条路径上所经边的权值之和定义为该路径的路径长度或称带权路径长度。

从源点到终点可能不止一条路径，把带权路径长度最短的那条路径称为最短路径，其路径长度（权值之和）称为最短路径长度或者最短距离。

二、从一个顶点到其余各顶点的最短路径

问题：给定一个带权有向图G与源点v，求从v到G中其他顶点的最短路径，并限定各边上的权值大于或等于0。      

 采用狄克斯特拉（Dijkstra）算法求解

基本思想是：设G=(V，E)是一个带权有向图， 把图中顶点集合V分成两组：

第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径v，…k，就将k加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了）

第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示）。

狄克斯特拉算法的过程

（1）初始时，S只包含源点即S={v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边&