17、连接AGI理论与实践：比较推理与优化算法的探索

连接AGI理论与实践：比较推理与优化算法的探索

优化算法框架与分析

在优化算法领域，存在多种方法。一种常见的模式是通过评估当前焦点，选择一个新的焦点。例如，最速上升法就遵循这种模式，同时，一些无导数优化方法也有类似的形式。

对于进化优化，如果将注意力转移到种群级函数 $f_P : X^N \to R$（其中 $X^N$ 是 $X$ 中 $N$ 个元素的种群），并将 $x \in X^N$ 时的 $f_P(x)$ 定义为 $f(x)$ 在 $x \in X^N$ 上的平均值（在遗传算法术语中即平均种群适应度），那么它也可以纳入这个框架。焦点 $a$ 是一个种群，通过交叉或变异进化为新的种群 $a^*$，这个过程会不断迭代。

这些基本思想适用于大多数拓扑空间 $X$，但我们尤其关注 $X$ 是元图的情况。在这种情况下，模式搜索迭代可以理解为在元图上的游走，从图中的某个初始位置移动到另一个位置，再到下一个位置，以此类推。

我们可以通过贪心定理来分析这类优化算法。贪心定理如下：
定理1：若 $R$ 是传递的，且 $S$ 满足“单调性条件” $R \stackrel{S}{\leftarrow} F_R$，则 $(|S \upharpoonright R|) \subseteq (|S|) \upharpoonright R$。
这里涉及到一些特殊符号：$R \stackrel{S}{\leftarrow} F_R$ 表示 $S \cdot F_R \subseteq R \cdot S$；$(|S|)$ 表示对 $S$ 进行折叠操作；$\langle \mu X :: f_X \rangle$ 表示 $f$ 的最小不动点；$T^{\circ}$ 表