2017 ACM-ICPC 亚洲区(西安赛区)网络赛 E Maximum Flow

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题意

有 $n$ 个点，$0,1,2,...,n-1$，对于没对点 <i,j>(0≤i<j<n) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-212"> (0\leq i\lt j\lt n)</script>，有一条 $i\rightarrow j$ 边，流量为 $i\ Xor\ j$，问从 $0$ 到 $n-1$ 的最大流。

思路

首先，$0$ 到 $n-1$ 必须要割；

其次，对于任意一个 $i$，$0\rightarrow i$ 与 $i\rightarrow n-1$ 至少要割一个。考虑 $i$ 在 $n-1$ 的最高位是否为 $0$，如果为 $0$，就割 $0\rightarrow i$，否则割 $i\rightarrow n-1$.

这样割，肯定有一个点为分界线（$100…0$），前面的所有点与 $n-1$ 连通而不与 $0$ 连通，后面的所有点与 $0$ 连通而不与 $n-1$ 连通，于是 $0$ 和 $n-1$ 就割开了。

现在的问题就是怎么求割下来的各条边的流量和。

当 $i$ 的最高位为 $0$ 时，割 $0\rightarrow i$，就是 $1+2+3+...+((1<<(len-1))-1)$.

当 $i$ 的最高位为 $1$ 时，割 $i\rightarrow n-1$，考虑从低位往高位去找 $n-1$ 中为 $1$ 的位（除了最高位），不妨设当前为第 $j$ 位，则可以对从最高位到第 $j+1$ 位都与 $n-1$ 相同，而第 $j$ 位为 $0$的数求和。
对于这些数，其 $j-1$ 到 $0$ 位与 $n-1$ 的异或值就是 $1+2+3+...+((1<<j)-1)$；第 $j$ 位与 $n-1$ 的异或值是 $1<<j$；最高位到第 $j+1$ 与$n-1$ 的异或值为 0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-7424">0</script>.

Code

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9+7;
LL n;
void work() {
    if (n == 2) { printf("1\n"); return;}
    --n;
    int len = 0;
    LL nn = n;
    while (nn) ++len, nn >>= 1;
    LL ans = (1LL << (len-2)) % mod * (((1LL << (len-1)) - 1 + mod) % mod) % mod;
    (ans += n) %= mod;
    for (int i = 0; i < len-1; ++i) {
        if (n & (1LL << i)) {
            if (i == 0) (ans += 1) %= mod;
            else (ans += (((3LL << i) % mod - 1 + mod) % mod * ((1LL << (i-1)) % mod)) % mod) %= mod;
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
}
int main() {
    while (scanf("%lld", &n) != EOF) work();
    return 0;
}