2017 ACM-ICPC 亚洲区（西安赛区）网络赛 Sum

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构造题

先上代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t;
string x;
string ans;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> x;
        int l = x.length();
        ans = "1";
        string seg(l-1,'0');
        seg += '1';
        for (int i = 1; i < 233; ++i)
            ans += seg;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

解释

update 2019年4月23日12点41分
其实下面说什么质数的都是不必要的，普通的整数也是可以的。
下面是原内容

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$Z_p$(即$<Z_p,+>$)是个循环群，且除了$0$以外的$p-1$个元素都是生成元，阶都是$p.$
因此如果$p$个a相加(这里指$Z_p$群中的相加)，则一定是$0.$
而这个里的$233$就是个质数，并且是模数
题目是要$kx$的每一位相加模$233$为0
我的代码就是构造了$kx$为$xxx...x$(共233,这里不是指相乘)的数。
举个例子：
我们把233换成5来说明：
$x=4589$
我构造的数是
$45894589458945894589$
$S(45894589458945894589)=5\times S(4589)$
如果换成233个4589，则
$S(45894589...4589)=233\times S(4589)$
而对于这个数kx的k也是很明显的
x最多7位
k最多就是$233\ast 7-2<2000$

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update 2019年4月23日12点42分
下面是更新后的内容

补充

实际上，从后面的构造方法来看，就算233换成一个非素数也是可以的。
因为$Z_n$就是个循环群，并且每个元素的$阶$都是$n$的因子。只要n个运算，则肯定是回到$0$了。