运筹系列4：整数规划割平面法python代码

最新推荐文章于 2025-07-02 12:13:23 发布

IE06

最新推荐文章于 2025-07-02 12:13:23 发布

阅读量8.8k

点赞数 10

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：运筹学文章标签：平面 python 开发语言

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/kittyzc/article/details/81708729

运筹学专栏收录该内容

93 篇文章

订阅专栏

本文介绍了分支割平面（branch and cut）算法，它是在分支定界法基础上，先尝试添加割平面求整数解。文中详细介绍了多种cut方法，如Disjunctive cut、Gomory cut等，还区分了User cut和Lasy cut，最后给出了用Python实现该算法的基本框架。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1. 分支割平面（branch and cut）

割平面简单来说，就是添加约束条件。
Cuts are constraints added to a model to restrict (cut away) noninteger solutions that would otherwise be solutions of the continuous relaxation. The addition of cuts usually reduces the number of branches needed to solve a MIP.

在使用分支定界法时，我们一般是首先尝试添加各种割平面后看能不能求出整数解，如果不行再分支。这种方法叫做Branch and Cut。
首先介绍一些基本的cut方法：

rounding：
比如整数变量 $x≤1.5x\le 1.5$ 可以转化为 $x≤1x\le 1$ ；
还有GCD reduction：比如 $\le 11$ ，同时除以3后有 $x+2y+3z≤3x+2y+3z\le 3$ ；
Gomory rouding cut：比如 $3x+3y+5z≤83x+3y+5z\le 8$ ，同时除以3有 $x+y+5/3z≤8/3x+y+5/3z\le 8/3$ ，两边rounding得到 $x+y+z≤2x+y+z\le2$
lifting：
比如 $4x+y≥2,x4x+y\ge 2, x$ binary，x从0提升到1，左边slack为2，x前面的系数可以减去2变为 $2x+y≥22x+y\ge 2$
disjunction：
比如 $x+y≥3.5,x,y≥0,yx+y\ge 3.5,x,y\ge0,y$ integer，可以把y拆分为 $\ge 4$ 和 $y≤3y\le 3$ 两部分。

2. cut介绍

剪枝方法分为对约束形式有要求的特殊剪枝以及通用的剪枝：

Generic Cuts (valid for any MILP)
Gomory Mixed Integer
Mixed Integer Rounding
Disjunctive cut
Special Structures (valid for certain relaxations of MILPs)
Knapsack / Gub Cover, Pack (many applications)
Flow Cover / Path (fixed charge network flow, lot-sizing, …)
Cliques / Odd-Hole (set partitioning, covering, packing)
Implied Bound (logical implications between binary variables)

2.1 Disjunctive cut

在分支定界算法中，添加的x≤floor[x_s]和x≥ceil[x_s]便是两个用来割平面的约束条件，floor[x]和ceil[x]之间的整个可行域在对x进行分支的过程中被切割掉了，称为disjunctive cuts。

2.2 Gomory cut

Gomory的思想是将等式两边系数的小数部分拿出来做成新的约束，主要适用于纯整数规划。
假设 $\in Z$ ，则一定有 $⌊a⌋x≤⌊b⌋\lfloor a\rfloor x\le \lfloor b\rfloor$ ，然后两者相减，得到： $fax≥fbf_ax\ge f_b$ ；反过来有 $y+⌈a⌉x≥⌈b⌉y+\lceil a\rceil x\ge \lceil b\rceil$ ，然后两者相减，得到： $(1−fa)x≥1−fb(1-f_a)x\ge 1-f_b$ 。下面是个例子：
在这里插入图片描述

Gomory可以与其他方法组合使用。假设整数规划的线性松弛问题求解结果中有一个基变量 $y = b$ 不是整数，对应约束： $y+Σajxj+Σakxk=by+\Sigma a_jx_j+\Sigma a_kx_k=b$
令： $y+Σ⌊aj⌋xj+Σ⌈ak⌉xk=ty+\Sigma \lfloor a_j\rfloor x_j+\Sigma \lceil a_k\rceil x_k=t$ （两边取整）
相减得到： $Σfajxj−Σ(1−fak)xk=b−t\Sigma f_{a_j}x_j-\Sigma (1-f_{a_k})x_k =b-t$
disjunction，有
$b−t≥0=>Σfajxj≥fbb-t\ge0=>\Sigma f_{a_j}x_j \ge f_b$ ，
$b−t<0=>Σ(1−fak)xk≥1−fbb-t<0=>\Sigma (1-f_{a_k})x_k\ge 1-f_b$
合并得到 $Σfajxj/fb+Σ(1−fak)xk/(1−fb)≥max⁡{Σfajxj/fb,Σ(1−fak)xk/(1−fb)}≥1\Sigma f_{a_j}x_j / f_b+\Sigma (1-f_{a_k})x_k/(1-f_b)\ge \max\{\Sigma f_{a_j}x_j / f_b,\Sigma (1-f_{a_k})x_k/(1-f_b)\}\ge1$
我们一般选取 $faj≤fb,fak>fbf_{a_j}\le f_b,f_{a_k}>f_b$ ，这样系数都小于1，约束比较紧。

在求解器中，一般只应用于根节点，挑选非整数最严重的一些变量（比如100个）添加gomory割平面到松弛问题上，然后重复两遍。

2.3 MIR cut

MIR cuts are generated by applying integer rounding on the coefficients of integer variables and the righthand side of a constraint.
核心思想是对整数变量与非整数变量>=0的交点进行distructive cut，然后连接cut的两个交点形成一个新的约束条件。
在这里插入图片描述

Mix integer rounding针对的是如下问题：
若 $y≤b+x,y∈Zy\le b+x,y\in Z$ ，我们可以添加cut：
$y≤⌊b⌋+x/(1−fb)y\le \lfloor b\rfloor+x/(1-f_b)$
证明：
若 $f_x+f_b<1$ ，则原约束满足 $y≤⌊b⌋+⌊x⌋≤⌊b⌋+x/(1−fb)y\le \lfloor b \rfloor+\lfloor x \rfloor\le \lfloor b\rfloor+x/(1-f_b)$
若 $fx+fb≥1f_x+f_b\ge1$ ，则原约束满足 $y≤⌊b⌋+1+⌊x⌋≤⌊b⌋+(fx+⌊x⌋)/fx≤⌊b⌋+x/(1−fb)y\le \lfloor b \rfloor+1+\lfloor x \rfloor\le \lfloor b\rfloor+(f_x+\lfloor x \rfloor)/f_x\le \lfloor b\rfloor+x/(1-f_b)$

反过来，我们也有：
若 $y+x≥b,y∈Zy+x\ge b,y\in Z$ ，我们可以添加cut：
$y+x/fb≥⌈b⌉y+x/f_b\ge \lceil b\rceil$
如下图：
在这里插入图片描述

MIR的一个扩展是：
对于问题 $Σajyj+x−z≤⌊b⌋\Sigma a_jy_j+x-z\le \lfloor b\rfloor$ ，我们可以添加cut：
$Σ(⌊aj⌋+(faj−fb)+/(1−fb))yj≤⌊b⌋+z/(1−fb)\Sigma(\lfloor a_j \rfloor+(f_{a_j}-f_b)^+/(1-f_b))y_j\le \lfloor b\rfloor+z/(1-f_b)$
证明：
若 $faj≥fbf_{a_j}\ge f_b$ ，则 $(faj−fb)/(1−fb)≤(faj−fbfaj)/(1−fb)=faj(f_{a_j}-f_b)/(1-f_b)\le (f_{a_j}-f_bf_{a_j})/(1-f_b)=f_{a_j}$
若 $f_{a_j}< f_b$ ，使用rounding，必有 $⌊aj⌋yj≤⌊b⌋\lfloor a_j \rfloor y_j\le \lfloor b\rfloor$

2.4 Cover cut

cover cut有多种，这里介绍knapsack cover cut，针对如下约束：
$Σax≤b,x\Sigma ax\le b,x$ binary
若集合 $C$ 满足 $ΣCa>b\Sigma_C a > b$ ，则把 $C$ 称为一个cover，cover cut为：
$σCxj≤∣C∣−1\sigma_Cx_j\le |C|-1$
在这里插入图片描述

cover cut也可以和其他方法进行结合，如下：
在这里插入图片描述

2.5 clique cut

若一系列binary变量两两互斥，则可以生成clique cut，即：
若 $x+y≤1,z+y≤1,x+z≤1x+y\le 1,z+y\le 1,x+z\le 1$
则 $x+y+z≤1x+y+z\le 1$

3.从User cut到Lasy cut

无论是普通B&B中的对变量进行切分，还是B&C用约束条件的小数部分形成切分，切分条件对于原问题都是符合的，称为User cut。如果原问题还有一些隐含的额外约束可以作为cut，这些cut称为Lasy cut。
另外有种情况会使用到lasy cut，那就是有很多约束在最开始的时候是冗余的，这些约束会被放进一个pool中，时不时拿出来检查一下，如果被违反了，就加入约束中；如果有一段时间不违反了，再把它放回pool中。这样可以减少每次迭代的计算量

4.python代码

基本框架还是用分支定界法，每次求解完之后添加割平面的约束条件：

def add_new_restriction(matrix):
    new_column = np.zeros(matrix.shape[0]+1)
    new_line = np.zeros(matrix.shape[1])
    new_column[-1] = -1 
    #这里简单使用第一行约束条件为基础生成新约束条件。
    new_line = matrix[1, :] 
    for index in range(0, len(new_line)):
        number = np.array(new_line[index], dtype=float)
        if number.tolist().is_integer() == False:
            new_line[index] = math.floor(new_line[index])
    matrix = np.insert(matrix, matrix.shape[0], new_line, axis=0)
    matrix = np.insert(matrix, -1, new_column, axis=1)
    return matrix