21、小波分析高级概念与应用详解

小波分析高级概念与应用详解

1. 密度估计与回归估计概述

在进行密度估计时，若要查看其不同步骤，可在命令行输入 wavemenu ，然后点击“Density Estimation 1 - D”选项。

回归估计是常见的实际问题之一。其目标是构建一个变量 $Y$ 与一个或多个变量 $X$ 之间关系的模型。该模型解释了 $Y$ 的变化中由 $X$ 的变化所导致的部分。用函数 $f$ 表示核心知识部分，剩余部分则为残差，类似于噪声，模型可表示为 $Y = f(X) + e$。

回归模型有多种类型。最简单的是线性回归 $Y = aX + b + e$，其中函数 $f$ 为仿射函数。当函数属于参数化函数族，如 $f(X) = \cos(wX)$ 且 $w$ 值未知时，情况会稍复杂，统计工具箱可用于研究此类模型。当 $f$ 完全未知时，非线性回归问题属于非参数问题，可通过常用统计窗口技术或基于小波的方法解决。

回归问题在多个领域都有应用：
- 冶金领域 ：尝试通过碳含量解释抗拉强度。
- 营销领域 ：房价的变化与经济指数相关。
- 空气污染研究 ：用每日最高温度解释臭氧浓度的每日最大值。

回归设计可分为固定设计和随机设计，区别在于 $X$ 的状态。

2. 固定设计回归与随机设计回归

• 固定设计回归 ：当 $X$ 值由设计者按照预定义方案选择，如一周中的日期、产品的使用年限或湿度等级时，属于固