17、小波变换中的高级概念：边界失真处理与平稳小波变换

小波变换中的高级概念：边界失真处理与平稳小波变换

1. 边界失真处理

经典的离散小波变换（DWT）通常定义在长度为2的幂次方的序列上，对于其他长度的样本，需要进行信号扩展。常见的扩展方法包括零填充、平滑填充、周期扩展和边界值复制（对称化）。

DWT的基本算法基于卷积和下采样，当对有限长度信号进行卷积时，会出现边界失真。为了处理边界失真，需要对信号的边界部分进行特殊处理。

以下是几种常见的信号扩展模式：
- 零填充（’zpd’） ：假设信号在原始支持范围之外为零。这种方法的缺点是会在边界处人为地产生不连续性。
- 对称化（’sym’） ：通过对称边界值复制来恢复信号或图像在原始支持范围之外的值。这是小波变换工具箱中的默认模式，虽然会在边界处人为地产生一阶导数的不连续性，但通常适用于图像。
- 一阶平滑填充（’spd’ 或 ‘sp1’） ：通过简单的一阶导数外推来恢复信号或图像在原始支持范围之外的值，使用线性扩展拟合前两个和后两个值。这种方法通常适用于平滑信号。
- 零阶平滑填充（’sp0’） ：通过简单的常数外推来恢复信号或图像在原始支持范围之外的值，即重复左侧的第一个值和右侧的最后一个值。
- 周期填充（1）（’ppd’） ：通过周期扩展来恢复信号或图像在原始支持范围之外的值。缺点是会在边界处人为地产生不连续性。
- 周期填充（2）（’per’） ：如果信号长度为奇数，先在右侧添加一个等于最后一个