16、小波变换高级概念与快速算法详解

小波变换高级概念与快速算法详解

1. 合成：逆变换

在信号处理中，一个有效的分析方法通常也需要具备合成能力，小波方法就满足这一要求。分析过程是从信号 $s$ 开始，得到系数 $C(a,b)$；而合成则是从系数 $C(a,b)$ 出发，重构出信号 $s$，合成是分析的逆运算。

对于有限能量信号，有两种进行逆小波变换的公式：
- 连续合成 ：
[s(t) = \frac{1}{K_{\psi}} \int_{R^+} \int_{R} C(a,b) \frac{1}{a} \psi(\frac{t - b}{a}) \frac{da db}{a^2}]
其中 $K_{\psi}$ 是一个依赖于 $\psi$ 的常数。
- 离散合成 ：
[s(t) = \sum_{j \in Z} \sum_{k \in Z} C(j,k) \psi_{j,k}(t)]

当然，这些公式对函数 $\psi$ 有一定的假设条件。

2. 细节与近似

通过连续和离散合成的方程，我们可以定义第 $j$ 层的细节：
- 固定 $j$ 并对 $k$ 求和，细节 $D_j$ 可表示为：
[D_j(t) = \sum_{k \in Z} C(j,k) \psi_{j,k}(t)]
- 对所有的 $j$ 求和，信号 $s$ 就是所有细节的总和：
[s = \sum_{j \in Z} D_j]

选取一个参考级别 $J$，细节可分为两类。与 $j \leq J$ 对应的细节，其尺度 $a = 2^