Futurama S06E10中的数学问题

      时间要追溯到2013年9月，我看到过这样一个有趣的问题，来源于matrix67的一篇博文。

那么把题目摘录一下：

“ 经典 Geek 动画  Futurama 上周播出了第 6 季的第 10 集 The Prisoner of Benda 。在这一集中，教授 Farnsworth 发明了一种“心灵对换机”，它可以把两个人的思想互相对换，使得 A 的大脑跑进 B 的身体里，而 B 的大脑则跑到 A 的身体里。 Farnsworth 和 Amy 都想得到对方的身体，便成为了这台机器的第一对实验者。等到他们爽够了想换回来后， Farnsworth 却发现了一个严重的问题：已经互换过大脑的两个身体不能再次进行大脑对换操作。但这并不表示两个人完全没有希望回到自己的身体里—— Farnsworth 突然想到，或许可以用第三者作为一个临时的大脑储存空间，从而实现间接对换。正巧机器人 Bender 进了实验室，于是（身为 Amy 的） Farnsworth 和 Bender 又坐上了机器，这下 Farnsworth 的大脑便跑到 Bender 身体里了，而 Bender 的大脑则进了 Amy 的身体里。此时 Farnsworth 才意识到，引入一个第三者是不够的——再让（身为 Bender 的） Farnsworth 和（身为 Farnsworth 的） Amy 互换大脑，可以让 Farnsworth 恢复原状，但同时 Amy 的大脑会跑到 Bender 的身体里去；这样 Bender 和 Amy 的身体正好颠倒了，而他们却已不能再次使用机器。换句话说，要想恢复两个换位了的大脑，需要引入不止一个新的人。

但现在，问题已经变得更加复杂了——这下已经产生了三个大脑位置错乱的人。大家很容易联想到一个更一般的问题：给定 n 个人以及他们之前使用“心灵对换机”的记录，至少得引入多少个新的人，才能让所有人的大脑都“物归原主”呢？”

条件需要注意的是：n个人两两之间可能都已经换过了，所以后续的交换只能在新人和旧人，新人和新人之间互换。

在原先的文章里，最后给出的解答是这样的：

无论此前n个人的交换有多混乱，最后只需要引入两个人，可以让大家复原。

躯体：1  2  3  4  5  6  …  k-1  k

大脑：2  3  4  5  6  7  …   k   1

首先解答这样一种特殊的情况

在 2  3  4  5  6  …  k   1  的情况下，可以通过一种构造性的置换方法     

2  3  4  5  6  …  k   1  x  y  

x  3  4  5  6  …  k   1  2  y

x  y  4  5  6  …  k   1  2  3

x  y  3  5  6  …  k   1  2  4

x  y  3  4  6  …  k   1  2  5

x  y  3  4  5  …  k   1  2  6

… … …

x  y  3  4  5  … k-1  1  2  k

x  y  3  4  5  … k-1  k  2  1

x  2  3  4  5  … k-1  k  y  1

1  2  3  4  5  … k-1  k  y  x

1  2  3  4  5  … k-1  k  x y

但是如何面对一般的情形呢？

原文是这样解释的：

“注意到一个 1 到 n 的排列总能分解成若干个循环的乘积，对每个循环分别进行上述操作  ” 

我觉得这句话并没有把这个解答解释得比较充分，让人不太明白，这是这篇文章比较遗憾的地方。

下面说一下我的思考吧

首先，引入这样一个问题。

一个排列，每个数字i都不在第i个位置上，需要多少次交换，才能变换到1，2，3, ..., n-1, n

例如排列 2  4  1  3，最少需要3次交换。排列 2  1  4  3则只需要2次交换。

因为前者{1,2,3,4}构成了一个全乱环，后者{1，2}   {3, 4}构成了2个全乱环（额...全乱环，姑且这么描述吧，暂时没找到正规俗语-_-||）。

排列 1 3 4 2不是我们考虑的情形，因为1在第1个位置。

在一个大小为n的完全乱序环中，最少需要n-1次交换，才能还原。

我们暂时考虑这样的排列：每个数字i都不在排列的第i个位置上，并且需要通过n-1次交换才能还原到1 2 3 4  ... n-1 n

如果只引入一个人x，策略是依次把1，2,3,4心灵换到身体上（红色表示交换）

2  4  1  3  x

2  4  x  3  1

1  4  x  3  2

1  2  x  3  4

1  2  x  4  3

好，到这里比较尴尬了，因为第一次5号身体和3号已经换过了所以不能再换了

答案似乎已经很接近了，再努力一把。

引入第2个人，y。他的作用是先和装有1号心灵的身体互换，避免x最后无法交换的困境

2  4  1 3  x  y

2  4  y  3  x  1

x 4  y  3  2  1

x  2  y  3  4  1

x  2  y  4 3  1    

只有x一个人时的困境不再了，3可以和y交换了      

x  2  3  4  y  1

1  2  3  4  y  x

1  2  3  4  x  y

总之，解决的办法就是：

1）y先和1号心灵交换，

2）然后由x的身体把2，3，4，... n按照心灵的顺序各归其位，

3）再由y的身体把1号归位，

4）最后x y互换。

于是，各归其位，世界和平了。 ：D

 

等等，我们刚才说了排列中只有一个全乱环的情况，如果有多个全乱环呢？

其实很简单，对每一个全乱环都用上述的方法单独处理就行了。