关于《Proofs from THE BOOK》chapter22 单调序列问题

此书的22章讲到了鸽笼原理，其中一道题挺有意思

在任何一个大小为mn+1的序列，a1, a2,..., 每个实数各不相同。要么存在一个大小为m+1的递增序列，要么大小为n+1的递减序列，或者同时存在。 

下面是书中给出的解答：

先做个定义：对于某个ai，都有一个ti代表了以ai为起始点的最大上升序列的长度。

举个例子m=2,n=2的序列

1 2 -1 0 3

相应的ti序列就是

3 2 3 2 1

1）如果ti>=m+1，那么存在一个m+1的递增序列，问题得证明。

2）那么假定所有ti<=m。总共有mn+1个t,它的取值范围是{1,...,m}。根据鸽笼原理，那么有n+1个数具有相同t值。

假定这个值为s,且1<= s <= m。

考察这n+1个数{a(j,1),a(j,2),...,a(j, n+1)}，我们可以得到这样的结论a(j,1) >a(j,2)>...>a(j,n+1)。

为什么呢？如果相邻的两个数a(j, i)<a(j, i+1)。以a(j, i+1)开头已经有长度为s的递增序列了，再加上a(j, i), 就会找到以a(i,j)为开头的递增序列长度为s+1。与原先的假设矛盾！

根据a(j,1) >a(j,2)>...>a(j,n+1)，我们可以得到一个长度为n+1的递减序列。问题的证

说说我的解题思路：

对于每一个ai，定义以它为结尾的最大递增，递减序列长度分别为(xi, yi)

1）如果xi>=m+1,或则yi<=n+1，那么问题得证！

2）我们假定1<=xi<=m，且1<=yi<=n。

首先我们可以得到任意两对（xi, yi） (xj, yj)不完全同。如果完全相同，会存在矛盾

例如ai 的是(3, 5)， aj的也是(3,5)。如果ai<aj，那么实际可以找到一个以aj为结尾的长度为4的单调递增序列。ai>aj也是同理。

由于xi, yi的取值范围，总共只有mn对完全不同的数。

例如m=2, n=3，只有（1,1 (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)

但是我们有mn+1对（xi, yi),必然存在两对数完全相同，与上述的推论“任意两对（xi, yi） (xj, yj)不完全同”矛盾。因为有mn个笼子和mn+1只鸽子。

因此命题的得证