固定比例01环的均匀分布问题

描述：将k个0插入由m个1组成的环中(k<=m)，使得得到的新的环尽可能的均匀

例如 k = 5, m = 8.
R1=[0000011111111] 明显不均匀
R2=[1010101010111] 稍微均匀，但是环中有连续的4个1
R3=[1011011010101] 比较均匀，但是环中11太密集
R4=[1011010110101] 最佳均匀方案


R1 简单的把0连续的插入环中，不均匀
R2 两个0中间用一个1隔开，最后却有连续的四个1，1的局部密度太大
R3 两个0中间用一个或两个1隔开，但是11的局部密度太大。
令a=11，R3=[a0a0a01010]
R4 是最优方案！
令a=11，R4=[a0a010a010]


从均匀性考虑：最后的方案中
1.不可能有两个相邻的0，因为k<=m，0少1多
2.连续的1的长度只能是 m/k or m/k + 1


还是以 k = 5, m = 8 为例，
首先将5个0和5个1配对，令b=01，这样还剩下三个1,问题变成把5个b插入3个1中的环中。
子问题出现了，而且递归结构应该是：
(5,8) -> (3,5) -> (2,3) -> (1,2) -> (0,1)


(k,m)=(0,1): A=[1]
(k,m)=(1,2): 一个0，两个1，任意方案都是一个方案，B=[1,1,0]
(k,m)=(2,3): 两个0，三个1，最佳方案，C=[1,0,1,0,1]
i)2个0和两个1配对，构成 10
ii)将方案B=[1,1,0]中的 1 用 10替换，0 用 1 替换，
于是得到了方案C=[1,0,1,0,1].
(k,m)=(3,5): 3个0，5个1，最佳方案，D=[1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]
同样，将方案C中的 1 用 10替换，0 用 1 替换，
于是得到了方案D.
(k,m)=(5,8): 5个0，8个1，最佳方案，
E=[1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1]


这种分配方法，和求最大公约数的辗转相除法是一样的，能保证最后的结果的均匀性。
以下给出最优结果的一些例子:
(k,m)=(2,4):[1, 1, 0, 1, 1, 0]
(k,m)=(2,5):[1, 1, 0, 1, 1, 0, 1]
(k,m)=(2,7):[1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1]
(k,m)=(3,7):[1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1]
(k,m)=(5,7):[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0]


以下是python代码：

#!/usr/bin/python
import sys
from sys import argv
#------------------------------------------
def uniformly(k,m):
	if(k>m):return uniformly(m,k);
	ans = [];
	if(k==0):
		return [1]*m; # m ones
	res = uniformly(m%k,k);
	d = m/k;
	for i in res:
		if i==1:
			# 1 -> 1**10, append d ones and 1 zero
			ans = ans + [1]*d;
			ans.append(0);
		else:
			# 0 -> 1
			ans.append(1);
	return ans;
#------------------------------------------
def main():
	if len(sys.argv) > 2:
		k = int(sys.argv[1]);
		m = int(sys.argv[2]);
		print uniformly(k,m);
if __name__ == "__main__":
	print('-----------');
	main();
	print('-----------');

续：01环的均匀分布性和以下这个函数的最大值密切相关

对于给定的n，令 2^r 为第一个大于3^n的数，那么
函数H(x,n)取最大值 当且仅当 
i) x1 + x2 + ... xn = r
ii) xi = 1 or 2
iii) 向量x中的1和2分布是最均匀的