poj 3709 Balanced Number

本文介绍了一种使用数位DP的方法来解决平衡数的问题,并详细解释了如何通过计算数字和与数字位权和来判断一个数是否为平衡数。提供了一个完整的C++实现代码。

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Hdu 3709 Balanced Number

题意:整数域上,给一个闭区间,问你闭区间内balance数有多少个?区间规模[0,10^18]

Balance数: 以这个数的某一位为天平中心,每个数字大小为重量,数字距离中心的距离为力臂,使得天平平衡,则这个数称为Balance数。比如:4139,如果天平中心放在3这一位,天平左侧: 4*2 + 1*1 = 9;天平右侧:1*9=9;因此天平平衡,所以4139balance数。

 

解题思路:

基本框架是数位DP,规模太大。难点在于如何判断一个数是不是balance数。这里我着重分析如何判定部分。

区间分解:[X, Y] = [0, Y] - [0, X-1]

对于小于X的数,我们需要判定它是不是balance数:

digit(i)表示数的第i个数字

数字和:sdig=sum(digit(i))               {i=1..n }

数字位权和:snum=sum(i*digit(i))           {i=1..n}

每一次判断数是不是平衡的,就看snum%sdig是不是0.

因为:如果将轴放在最高位的左边,那么天平将偏向一边,我们定义一个天平平衡度,就是snum.

如果天平平衡,那么snum=0

每次从高位向低位移动轴的时候,平衡度减小sdig,这个画画图就知道。于是判断能否整除就可以知道数字是不是平衡的。

 

 

Code:
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
#define inf 1000000000
int d[25];
__int64 dp[18][180][1600];
//int dp[18][18*9+1][9*9*17+1];
__int64 dfs(int i,int sdig,int snum,bool flag)
{
    //准备枚举i位时,数字和sdig,数的位权和snum
    if(i==0)
        if(sdig==0 || snum%sdig==0)return 1;
        else return 0;
    if(!flag && dp[i-1][sdig][snum]!=-1)
        return dp[i-1][sdig][snum];
    int limit;
    __int64 sum;
    if(flag)limit=d[i];
    else limit=9;
    sum=0;
    for(int s=0;s<=limit;s++)
        sum+=dfs(i-1,sdig+s,snum+s*(i-1),flag&&s==limit);
if(!flag)    dp[i-1][sdig][snum]=sum;
return sum;
}
int main()
{
    int T;
    __int64 A,B,SA,SB;
    cin>>T;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(T--)
    {
    cin>>A>>B;
    A--;
    d[0]=0;
    do{    d[++d[0]]=A%10;    A/=10;}while(A);
    SA=dfs(d[0],0,0,1);
    d[0]=0;
    do{    d[++d[0]]=B%10;    B/=10;}while(B);
    SB=dfs(d[0],0,0,1);

    cout<<SB-SA<<endl;
    }
    return 0;
}


 

 

<think>嗯,用户想了解POJ 3264 Balanced Lineup的解法或讨论。首先,我需要回忆一下这道题的内容。题目应该是给定一个数列,查询区间内的最大值和最小值的差。属于RMQ问题的一种变体,因为普通的RMQ可能只查询最大或最小,但这里需要同时找到两者,然后计算差值。 接下来,用户提到参考了站内引用中的信息,里面提到了RMQ问题的解决方法,比如ST算法和线段树。根据引用中的例子,本题用的是线段树解法。但可能用户想知道不同的解法,所以需要分别介绍ST算法和线段树两种方法。 首先,ST算法适合处理静态数据,预处理时间O(n log n),查询时间O(1)。而线段树则可以处理动态更新的数据,预处理O(n),查询O(log n)。在本题中,数据是静态的,所以两种方法都适用。但题目可能更倾向于线段树解法,因为引用里明确提到。 接下来,我需要详细解释这两种方法的实现步骤。对于ST算法,需要构建两个预处理表,一个用于最大值,一个用于最小值。每个查询区间分成两个块,分别查最大和最小,然后相减。而线段树则需要构建每个节点保存区间的最大最小值,查询时递归地合并左右子区间的结果。 然后,要考虑代码实现。用户可能需要具体的代码示例。比如ST算法的预处理部分需要计算log表,填充st表。而线段树则需要构建树结构,每个节点存储区间的最大最小值,查询时递归查找左右子树。 另外,用户可能关心的优化点,比如线段树的递归与非递归实现,或者ST算法的空间优化。同时,需要注意题目的数据范围,比如数组长度和查询次数,以确定哪种方法更优。例如,如果查询次数极大,ST算法的O(1)查询会更高效。 用户可能还会遇到的一些问题,比如如何处理区间边界,或者在预处理时如何分割区间。需要指出关键点,比如在ST算法中,区间长度是2^j,而线段树中的区间分割是二分法。 最后,生成相关问题需要考虑用户可能进一步想知道的内容,比如不同解法的对比,优化方法,或者类似题目的扩展。例如,动态更新时的处理,或者二维RMQ问题等。</think>### POJ 3264 Balanced Lineup 解法分析 #### 问题描述 给定一个长度为$n$的数列$A$,处理$q$次查询,每次查询区间$[i,j]$内的**最大值与最小值之差**。这是RMQ问题的扩展,需要同时处理区间最值查询和差值计算。 --- ### 解法一:线段树 **步骤说明** 1. **建树**:构建线段树,每个节点存储区间$[l,r]$的**最大值**和**最小值**。 $$ \text{节点属性} = (\text{max\_val}, \text{min\_val}) $$ 2. **查询**:递归查询区间$[i,j]$的极值,合并左右子树结果。 3. **差值计算**:返回查询结果中的$\text{max\_val} - \text{min\_val}$。 **代码示例** ```python class SegmentTree: def __init__(self, data): self.n = len(data) self.tree = [ (0, 0) ] * (4 * self.n) self.build(0, 0, self.n-1, data) def build(self, node, l, r, data): if l == r: self.tree[node] = (data[l], data[l]) return mid = (l + r) // 2 self.build(2*node+1, l, mid, data) self.build(2*node+2, mid+1, r, data) max_val = max(self.tree[2*node+1][0], self.tree[2*node+2][0]) min_val = min(self.tree[2*node+1][1], self.tree[2*node+2][1]) self.tree[node] = (max_val, min_val) def query(self, node, l, r, ql, qr): if qr < l or ql > r: return (-float('inf'), float('inf')) if ql <= l and r <= qr: return self.tree[node] mid = (l + r) // 2 left = self.query(2*node+1, l, mid, ql, qr) right = self.query(2*node+2, mid+1, r, ql, qr) return (max(left[0], right[0]), min(left[1], right[1])) ``` --- ### 解法二:ST表(Sparse Table) **步骤说明** 1. **预处理**:构建两个ST表,分别存储区间最大值和最小值。 $$ \text{st\_max}[i][j] = \max(A[i \ldots i+2^j-1]) $$ $$ \text{st\_min}[i][j] = \min(A[i \ldots i+2^j-1]) $$ 2. **查询**:对任意区间$[i,j]$,计算区间长度$k = \lfloor \log_2(j-i+1) \rflo
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