poj 3709 Balanced Number

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本文介绍了一种使用数位DP的方法来解决平衡数的问题，并详细解释了如何通过计算数字和与数字位权和来判断一个数是否为平衡数。提供了一个完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Hdu 3709 Balanced Number

题意：整数域上，给一个闭区间，问你闭区间内balance数有多少个？区间规模[0,10^18]

Balance数：以这个数的某一位为天平中心，每个数字大小为重量，数字距离中心的距离为力臂，使得天平平衡，则这个数称为Balance数。比如：4139，如果天平中心放在3这一位，天平左侧： 4*2 + 1*1 = 9；天平右侧：1*9=9；因此天平平衡，所以4139是balance数。

解题思路：

基本框架是数位DP，规模太大。难点在于如何判断一个数是不是balance数。这里我着重分析如何判定部分。

区间分解：[X, Y] = [0, Y] - [0, X-1]

对于小于X的数，我们需要判定它是不是balance数：

digit(i)表示数的第i个数字

数字和：sdig=sum(digit(i)) {i=1..n }

数字位权和：snum=sum(i*digit(i)) {i=1..n}

每一次判断数是不是平衡的，就看snum%sdig是不是0.

因为：如果将轴放在最高位的左边，那么天平将偏向一边，我们定义一个天平平衡度，就是snum.

如果天平平衡，那么snum=0

每次从高位向低位移动轴的时候，平衡度减小sdig,这个画画图就知道。于是判断能否整除就可以知道数字是不是平衡的。

Code:
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
#define inf 1000000000
int d[25];
__int64 dp[18][180][1600];
//int dp[18][18*9+1][9*9*17+1];
__int64 dfs(int i,int sdig,int snum,bool flag)
{
    //准备枚举i位时，数字和sdig，数的位权和snum
    if(i==0)
        if(sdig==0 || snum%sdig==0)return 1;
        else return 0;
    if(!flag && dp[i-1][sdig][snum]!=-1)
        return dp[i-1][sdig][snum];
    int limit;
    __int64 sum;
    if(flag)limit=d[i];
    else limit=9;
    sum=0;
    for(int s=0;s<=limit;s++)
        sum+=dfs(i-1,sdig+s,snum+s*(i-1),flag&&s==limit);
if(!flag)    dp[i-1][sdig][snum]=sum;
return sum;
}
int main()
{
    int T;
    __int64 A,B,SA,SB;
    cin>>T;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(T--)
    {
    cin>>A>>B;
    A--;
    d[0]=0;
    do{    d[++d[0]]=A%10;    A/=10;}while(A);
    SA=dfs(d[0],0,0,1);
    d[0]=0;
    do{    d[++d[0]]=B%10;    B/=10;}while(B);
    SB=dfs(d[0],0,0,1);

    cout<<SB-SA<<endl;
    }
    return 0;
}