庞果英雄会-整数问题

整数问题

http://hero.youkuaiyun.com/Question/Details?ID=192&ExamID=187

题目详情

如果一个数能够被组成它的各个非0数字整除，则称它是完美数。例如：1-9都是完美数，10,11,12都是完美数，但是13就不是完美数（因为13不能被组成它的数字“1”和“3”整除）。

现在给定正整数x,y，求x和y之间（包含x和y）一共有多少个完美数。输入数据1<=x<=y<=2000000000。

例如：

x = 1, y = 13，输出12；

x = 13，y = 13，输出0；

x = 100，y = 1000，输出106。

 

题解()：

 

第一次瞅见这道题，没多少思路，后来鉴于庞果网内部的问题还是别的原因，这道题就从首页消逝了，今天又瞅见了，于是再仔细想了想，发现依然是水题一枚。

 

这道题，依然是数据规模的坎，规模太大，不能随便枚举。其实，这些规模大的题目，反而相对容易，目标很明显，如何减少计算量！！

 

第一点，发现规律：

总共才9个数字，而且数字1根本不用判断，含有1的数字肯定能被1整除。于是只剩下8个数字[2-9]。然后，有些数包含了所有的这8个数字，有些数字可能只包含部分，因此这里有2^8个状态，描述这8个数字可能被包含的状态。

OK，继续，每个数，如果它包含某些数字，那么它一定要被这些数字整除。于是，想到需要记录它对每个数字的取模的余数，然后根据余数为0判断是否被整除。用r[i]表述x对数字i的余数，即 r[i]=x%i，(i=2,3,4,5,6,7,8,9).

很好，这里又有规律了：知道了r[4]就不用记录r[2]了，因为r[2]=r[4]%2。

同理，可以踢除一些不需要记录的数字：

①9剔除3

②8剔除2和4

③8 9 剔除 6

对于①②，比较好理解，直接的倍数关系。对于③，需要转一个弯，因为8中含有因子2,9中含有因子3，因此根据【中国剩余定理】：

x=9*k9 + r9 (k9<9)

x=8*k8 + r8 (k8<8)

那么x一定可以表述为x=72*k + r0, (r0<72)

72是6的倍数，因此，如果计算出了r0,则就可以算出x%6

至于怎么计算r0，参考度娘的解答。

 

推导到了这一步，可以估算一下复杂度：

2000000000，共10位   --i

8个数字，共2^8个状态   -- S

记录的余数组合情况，共max(r[9]* r[8]* r[7]* r[5]) = 9*8*7*5=2520 --R

总共合计起来=10*256*2520= 6451200

靠谱！！！！

第二步，数位dp算法

对待统计的数，从高位向地位枚举

枚举第i位，记录高于第i位的状态S，余数组合情况R，然后很容的转移到第i-1位。

i<0 则判断是否S和R组合是否符合条件。

由此，完美解决！