英雄会第二届在线编程大赛·线上初赛：AB数

http://hero.pongo.cn/Question/Details?ID=161&ExamID=156

So，想来现场参加火热决赛直取mini ipad的，请先通过线上初赛题目AB数：

给定两个正整数a,b，分别定义两个集合L和R，

集合L：即把1~a，1~b中整数乘积的集合定义为L= {x * y | x,y是整数且1 <= x <=a , 1 <= y <= b}；

集合R：1~a，1~b中整数异或的集合定义为集合R= {x ^ y | x,y是整数且1 <= x <=a , 1 <= y <= b}，其中^表示异或运算。

现从L中任取一个整数作为A，从R中任取一个整数作为B，如果必要在B的左边补0，使得B达到：“b的位数+1”位（十进制），然后把B接到A的右边，形成的一个十进制数AB。求所有这样形成数的和。

 

输入a,b 1<=a<=30, 1<=b<=10000000。

输出所有产生的AB数的和，由于结果比较大，输出对1000000007取余数的结果。

 

例如：a = 2, b = 4，

则L= {1 * 1, 1 * 2, 1 * 3, 1 * 4, 2 * 1, 2 * 2, 2 * 3, 2 * 4} =  {1, 2, 3, 4,6, 8}

 R =  {1^1,1^2,1^3,1^4,2^1,2^2,2^3,2^4} =  {0, 1, 2, 3, 5, 6}

相接的时候保证R中的数至少有两位，所以相接后所有的AB数的集合是

{

100,101, 102, 103, 105, 106,

200,201, 202, 203, 205, 206,

300,301, 302, 303, 305, 306,

400,401, 402, 403, 405, 406,

600,601, 602, 603, 605, 606,

800,801, 802, 803, 805, 806

}

输出它们的和：14502。

题外话：

这道题卡了好久，提交了18次，最后算是过了，出问题的地方居然是long和int 的溢出问题。其实早就该知道是这个问题，只是一直怀疑自己的算法是不是写错了，调试算法花了很久，结果算法没错，是代码写错了。

算法复杂度30*7000*2*30

这个已经优化到了极限了。

 

思路：

首先可以简单的证明，集合A与B组合出来的数字不存在重复。

证明：假设有重复，即：

a1b1

a2b2

那么b1和b2的位数肯定不等，假设b1的位数大于b2，那么因为b2至少是(b+1)位，所以b1至少是（b+2）位。而a<=30 , 在y<b的情况下 y^a 不可能是b的100倍，也就是说，y和a取异或，使得y增加的增量不会超过两个数量级。因此集合A与B组合出来的数字不存在重复。

 

基于以上结论，那么，cnt[0]和cnt[1]分别表示集合A和B的元素个数，sum[0]表示集合A中所有的数的和(sum[1] 集合B)

那么 题目要求的数 = sum[0]*cnt[1]*base(b+1)+ sum[1]*cnt[0]         base(b+1) 表示“b的位数+1”

现在，问题转化为如何计算两个集合的大小，以及元素和。

首先说集合B吧，相对来说比集合A简单。

假设 a>b 那么 在计算x^y的时候，因为x<=30 所以 x能影响y的比特位是有限的，最多影响y的后六位。

因此，可以产生这样的思路：假设x的二进制表达长度=5 (例如30, x=11110) ， 那么把y的后五位都清零，比这个数小的都在集合B中。然后从这个数开始枚举(判断比它大的数是否可以用x^y表示)，一直枚举到y的后五位全是1，枚举的代价是30，每次判断的代价是30。总共计算B的复杂度是O（900）。

 

计算集合A，比较复杂，需要用到鸽巢原理。

假设集合Ai是[1,b]区间内所有整数乘以i得到的集合。

集合A=

A1+A2+...+Aa

- A1∩A2 - A1∩A3 - ...- Aa-1∩Aa

+ A1∩A2∩A3+ A1∩A2∩A4...

-...

规律就是加减交替，然后每次集合求交的数量会增加，一直都最后所有的Ai求交。

上面集合A的表达式有 C(a,1)+C(a,2)+...+C(a,a)=2^a 项计算复杂度非常大。

但是，这里有一个后门，也是这道题 b<=10000000的原因。

增因为在b<10000000的情况下，当集合Ai求交的数量增加到一定程度时，结果都是空集，

比如假设A1∩A2是空集那么就没必要计算A1∩A2∩A3了，因此就可以剪枝。

 

最后说求集合交集的方法：

假设集合Ai和集合Aj有一个元素z是相同的，即

z=i*b1

z=j*b2

假设i和j的最大公约数是g，即

i=g*ii

j=g*jj

那么

z=g*ii*b1

z=g*jj*b2

因为ii和jj的最大公约数是1，（i与j互素），因此b1一定有约数jj，b2一定有约数ii，即

b1=jj*t1

b2=ii*t2

所以，t1=t2，假设t=t1=t2，那么结论是：

z = g*ii*jj*t = (i*j/g)*t

也就是z一定是i和j的最小公倍数的整数倍。这样可以通过计算满足条件的t有多少个来计算集合A

由集合A1∩A2 转移到集合A1∩A2∩A3时，可以发现规律是一样的，因此就有转移和递归的思路。

到这一步，还没完，这样做也会超时，需要继续优化。

 

为考虑到A1∩A2转移到A1∩A2∩A2只和最小公倍数有关，因此就可以利用最小公倍数作为递归的参数。而最小公倍数有是有限的，a=30 b=10000000时，也只有7000个不重复的最小公倍数，因此可以想到把递归参数哈希+记忆化。

如此一来求集合A的复杂度只有30*7000*2*30最后一个30是递归函数里面的循环参数。

 

结语：这道题，花了很多时间，最终也没能晋级，不过题目很好。