48、向量微积分：参数曲面及其面积详解

向量微积分：参数曲面及其面积详解

1. 向量场相关运算

在向量场的研究中，有一些重要的运算和结论。对于向量场 (E) 和 (H)，通过相关公式推导可得：
- (\nabla^2E=\text{grad div}E - \text{curl curl}E=\text{grad}0+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2})
- (\nabla^2H=\text{grad div}H - \text{curl curl}H=\text{grad}0+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2H}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2H}{\partial t^2})

对于任意在 (\mathbb{R}^3) 上的连续函数 (i)，定义向量场 (G(x,y,z)=\langle j(x,y,z),0,0\rangle)，其中 (j(x,y,z)=\int_{0}^{x}i(t,y,z)dt)。根据微积分基本定理，(\text{div}G=\frac{\partial}{\partial x}(j(x,y,z))+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(0)=\frac{\partial}{\partial x}\int_{0}^{x}i(t,y,z)dt = i(x,y,z))，这表明 (\mathbb{R}^3) 上的每一个连续函数 (i) 都是某个向量场的散度。

2. 参数曲面点