44、数学问题的深入解析与求解

数学问题的深入解析与求解

在数学的世界里，各种复杂的问题如同神秘的宝藏等待我们去挖掘。接下来，我们将深入探讨一系列数学问题的求解过程，领略数学的魅力。

1. 区域积分问题

• 区域 (U) 的积分计算 ：
  设 (U = \bigcup_{l = 1}^{5} U_l)，其中 (U_l = { (x, y) | x + y \geq l + 2, x + y < l + 3, 1 \leq x \leq 3, 2 \leq y \leq 5 })。
  对于 ((x, y) \in U_l)，([[x + y]] = l + 2)（为常数）。
  则 (\iint_U [[x + y]] dA = \sum_{l = 1}^{5} \iint_{U_l} [[x + y]] dA = \sum_{l = 1}^{5} (l + 2) [A(U_l)])
  (= 3A(U_1) + 4A(U_2) + 5A(U_3) + 6A(U_4) + 7A(U_5))
  (= 3\times\frac{1}{2} + 4\times\frac{3}{2} + 5\times2 + 6\times\frac{3}{2} + 7\times\frac{1}{2} = 30)

• 区域 (U = { (x, y) | 0 \leq x, y \leq 1 }) 的积分计算 ：
  当 (x \geq y) 时，(\max{x^2, y^2} = x^2)；当 (x \leq y) 时，(\max{x^2, y^2} = y^2)。