43、多重积分中的变量变换与相关概念解析

多重积分中的变量变换与相关概念解析

1. 物体运动相关结论

在物体运动的研究中，不同形状物体的表现有所不同。对于实心球，当满足特定条件（d < 0 且 e < 0）时，经过计算可得 LW = 2/5；对于空心球，在相应条件（d < u 且 e < 1）下，运用洛必达法则可算出 LW = 2/3。综合来看，物体完成运动的顺序为：实心球（LW = 2/5）、实心圆柱（LW = 1/2）、空心球（LW = 2/3）、空心圆柱（LW = 1）。

2. 变量变换中的雅可比行列式计算

2.1 二维变量变换

在二维变量变换中，雅可比行列式起着重要作用。以下是一些常见的二维变量变换及其雅可比行列式的计算：
- 若 { = 5x - y，| = x + 3y，则雅可比行列式为：
[
\begin{vmatrix}
\frac{\partial \xi}{\partial x} & \frac{\partial \xi}{\partial y} \
\frac{\partial \eta}{\partial x} & \frac{\partial \eta}{\partial y}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
5 & -1 \
1 & 3
\end{vmatrix}
= 5\times3 - (-1)\times1 = 16
]
- 若 { = xy，| = x/y，则雅可比行列式为：
[
\begin{vmatrix} <