33、方向导数与梯度向量详解

方向导数与梯度向量详解

1. 方向导数的近似计算

在实际问题中，我们常常需要近似计算方向导数。例如，对于压力函数和温度函数，我们可以通过平均变化率来近似其方向导数。
- 压力函数 ：在压力函数中，我们近似计算点 K 沿 S 方向的方向导数。通过观察红色线与最接近 K 的等高线的交点，压力从 1000 毫巴变为 996 毫巴，估计这两点间的距离约为 50 千米（已知 K 到 S 的距离为 300 千米）。根据平均变化率公式，该方向上压力的变化率约为(\frac{996 - 1000}{50} = -0.08)毫巴/千米。
- 温度函数 ：对于温度函数，我们先画一条经过 Dubbo 和 Sydney 的线。近似计算 Dubbo 沿 Sydney 方向的方向导数，温度从 30°C 变为 27°C，估计这两点间的距离约为 120 千米。所以该方向上最高温度的变化率约为(\frac{27 - 30}{120} = -0.025)°C/千米。

2. 方向导数的精确计算

我们可以根据函数的偏导数和给定的方向向量来精确计算方向导数。以下是一些具体的例子：
| 函数 | 偏导数计算 | 方向向量 | 方向导数计算结果 |
| — | — | — | — |
| (i(x, y) = x^3y^4 + x^4y^3) | (i_x(x, y) = 3x^2y^4 + 4x^3y^3)，(i_y(x, y) = 4x^3y^3 + 3x^4y^2) | 单位向量(\vec{u})在(\theta = \frac{\pi}{6})方向 | (G_{\vec{u}}i(1, 1