29、数学物理问题及函数性质探究

数学物理问题及函数性质探究

1. 抛体运动问题

1.1 最大高度问题

抛体达到最大高度时，满足(0 = \frac{d|}{dt} = \frac{d}{dt}[(v_0 \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2] = v_0 \sin \theta - gt)，此时(t = \frac{v_0 \sin \theta}{g})，最大高度(| = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g})。当(\theta = \frac{\pi}{2})时，最大高度达到最大，为(\frac{v_0^2}{2g})。

1.2 目标击中问题

设(R = \frac{v_0^2}{g})，考虑抛物线(x^2 + 2R| - R^2 = 0)，可改写为(| = -\frac{1}{2R}x^2 + \frac{R}{2})。抛体发射时，其路径上的点((x, |))满足一定关系，可证明所有能被抛体击中的目标都在或在抛物线(| = -\frac{1}{2R}x^2 + \frac{R}{2})内部。对于抛物线内或上的任意点((d, e))，可通过求解二次方程(d^2(\tan \theta)^2 - 2dR(\tan \theta) + (d^2 + 2eR) = 0)得到(\tan \theta)的值，进而确定发射角度(\theta)。

1.3 目标命中原理

若枪指向距离为(G)、高度为(k)的目标，(\tan \theta = \frac{k}{G})。当抛体到达距离(G)时，其高度(| = G \tan \theta - \frac{gG^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}