25、向量函数的极限、导数与积分

向量函数的极限、导数与积分

1. 向量函数的极限

设(r(w) = \langle i(w), j(w), k(w) \rangle)，(b = \langle e_1, e_2, e_3 \rangle)。若(\lim_{w \to d} r(w) = b)，则(\lim_{w \to d} r(w))存在，且(b = \lim_{w \to d} r(w) = \langle \lim_{w \to d} i(w), \lim_{w \to d} j(w), \lim_{w \to d} k(w) \rangle)。
根据相等向量的定义，有(\lim_{w \to d} i(w) = e_1)，(\lim_{w \to d} j(w) = e_2)，(\lim_{w \to d} k(w) = e_3)。对于任意(\epsilon > 0)，存在(\delta_1 > 0)，(\delta_2 > 0)，(\delta_3 > 0)，使得：
- 当(0 < |w - d| < \delta_1)时，(|i(w) - e_1| < \frac{\epsilon}{3})；
- 当(0 < |w - d| < \delta_2)时，(|j(w) - e_2| < \frac{\epsilon}{3})；
- 当(0 < |w - d| < \delta_3)时，(|k(w) - e_3| < \frac{\epsilon}{3})。

令(\delta = \min{\delta_1, \delta_2, \delta_3})，则当(0 < |w - d| < \delta