24、数学问题与向量函数的深入解析

数学问题与向量函数的深入解析

一、空间几何问题求解

在处理三维空间问题时，由于其难以直观想象和操作，我们可以先从二维的类似问题入手。

（一）二维与三维的类比问题

1. 二维问题 ：假设有一个边长为 1m 的正方形，其中包含 5 个半径为 u 的相同圆，这些圆相互相切，且有 4 个圆与正方形的两条边相切。正方形的对角线长度为$\sqrt{2}$，同时它也等于$4u + 2\delta$，这里的$\delta$是边长为 u 的小正方形的对角线，即$\delta = \sqrt{2}u$。由此可得$\sqrt{2} = 4u + 2\delta = 4u + 2\sqrt{2}u = (4 + 2\sqrt{2})u$，进而解得$u = \frac{\sqrt{2}}{4 + 2\sqrt{2}}$。
2. 三维问题 ：对于正方体，其对角线长度为$\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$，且该对角线也等于$4u + 2\delta$，其中$\delta$是棱长为 u 的小正方体的对角线，即$\delta = \sqrt{u^2 + u^2 + u^2} = \sqrt{3}u$。所以$\sqrt{3} = 4u + 2\delta = 4u + 2\sqrt{3}u = (4 + 2\sqrt{3})u$，解得$u = \frac{\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$，即每个球的半径为$\frac{\sqrt{3} - 3}{2}m$。

（二）面积与体积问题