数学与密码学综合问题解析

1、设�∶�→�是一个函数。(a) 设�⊂�，证明�(�⁻¹(�)) ⊂�，当�是满射时等号成立。(b) 设�⊂�，证明�⊂�⁻¹(�(�))，当�是单射时等号成立。

(a) 对于任意的 $ x \in f(f^{-1}(B)) $，存在 $ x’ \in f^{-1}(B) $ 使得 $ x = f(x’) $，而 $ x’ \in f^{-1}(B) $ 意味着 $ f(x’) \in B $，所以 $ x \in B $，即 $ f(f^{-1}(B)) \subset B $。若 $ f $ 是满射，对于任意的 $ y \in B $，存在 $ x \in A $ 使得 $ f(x) = y $，且 $ x \in f^{-1}(B) $，所以 $ y \in f(f^{-1}(B)) $，此时等号成立。

(b) 对于任意的 $ x \in f^{-1}(f(A)) $，有 $ f(x) \in f(A) $，那么 $ x \in f^{-1}(f(A)) $，所以 $ A \subset f^{-1}(f(A)) $。若 $ f $ 是单射，对于任意的 $ x \in f^{-1}(f(A)) $，有 $ f(x) \in f(A) $，则存在 $ x_1 \in A $ 使得 $ f(x) = f(x_1) $，由单射性质可得 $ x = x_1 $，所以 $ x \in A $，此时等号成立。

2、考虑实数集ℝ上的如下关系�：� = {(�, �) ∈ ℝ× ℝ| �−�∈ℤ}。证明�是ℝ上的一个等价关系。确定等价类[0]、[-2]和[4/3]。能否给出一个区间�，使得�与商集ℝ/ ∼之间存在一个双射？

证明 ∼ 是等价关系：

1. 自反性 ：
   对于任意 $ x \in \mathbb{R} $，有 $ x - x = 0 \in \mathbb{Z} $，所以 $ (x, x) \in \sim $，满足自反性。

2. 对称性 ：
   若 $ (x, y) \in \sim $，则 $ x - y \in \mathbb{Z} $，那么 $ y - x = -(x - y) \in \mathbb{Z} $，所以 $ (y, x) \in \sim $，满足对称性。

3. 传递性 ：
   若 $ (x, y) \in \sim $ 且 $ (y, z) \in \sim $，则 $ x - y \in \mathbb{Z} $ 且 $ y - z \in \mathbb{Z} $，那么 $ x - z = (x - y) + (y - z) \in \mathbb{Z} $，所以 $ (x, z) \in \sim $，满足传递性。

综上，∼ 是 $ \mathbb{R} $ 上的等价关系。

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确定等价类：

1. [0] ：
   $$
   [0] = {x \in \mathbb{R} \mid 0 - x \in \mathbb{Z}} = {x \in \mathbb{R} \mid x \in \mathbb{Z}}
   $$
   即所有整数构成的集合。

2. [-2] ：
   $$
   [-2] = {x \in \mathbb{R} \mid -2 - x \in \mathbb{Z}}
   $$
   设 $ -2 - x = k $（其中 $ k \in \mathbb{Z} $），则 $ x = -2 - k $，所以 $ [-2] $ 也是所有整数构成的集合，即 $ [-2] = [0] $。

3. [4/3] ：
   $$
   [4/3] = \left{x \in \mathbb{R} \mid \frac{4}{3} - x \in \mathbb{Z}\right}
   $$
   设 $ \frac{4}{3} - x = k $（其中 $ k \in \mathbb{Z} $），则 $ x = \frac{4}{3} - k $，所以
   $$
   [4/3] = \left{\frac{4}{3} + k \mid k \in \mathbb{Z}\right}
   $$

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寻找区间 $ I $：

可以取区间 $ I = [0, 1) $。
对于任意的等价类 $ [x] \in \mathbb{R}/\sim $，存在唯一的 $ a \in [0, 1) $ 使得 $ [x] = [a] $。
定义映射 $ f: [0, 1) \to \mathbb{R}/\sim $，$ f(a) = [a] $，可以验证该映射是双射。

3、找出以下关于 � 的函数的渐近上界。哪些是多项式函数，哪些是可忽略函数？(a) �1 = 2�³ − 3�² + �。(b) �2 = 3 ⋅ 2ⁿ − 2ⁿ + 1。(c) �3 = √(2ⁿ) + 1。(d) �4 = 2ⁿ / 2ⁿ⁺²。(e) �5 = (5�²−�) / (2�²+3�+1)。(f) �6 = 2^(1/3 � + 3)。(g) �7 = log₂(�)2ⁿ。

对于函数(a) $ f_1 = 2n^3 - 3n^2 + n $，当 $ n $ 足够大时，主导项是 $ 2n^3 $，所以渐近上界是 $ O(n^3) $，是多项式函数。

对于函数(b) $ f_2 = 3 \cdot 2^n - 2^n + 1 $，主导项是 $ 3 \cdot 2^n $，渐近上界是 $ O(2^n) $，不是多项式函数。

对于函数(c) $ f_3 = \sqrt{2^n} + 1 $，渐近上界是 $ O(2^{n/2}) $，不是多项式函数。

对于函数(d) $ f_4 = \frac{2^n}{2^{n+2}} = 2^{n - n - 2} = 2^{-2} = \frac{1}{4} $，渐近上界是 $ O(1) $，是多项式函数。

For函数(e) $ f_5 = \frac{5n^2 - n}{2n^2 + 3n + 1} $，当 $ n $ 足够大时，渐近上界是 $ O(1) $，是多项式函数。

对于函数(f) $ f_6 = 2^{\frac{1}{3}n + 3} $，渐近上界是 $ O(2^{n/3}) $，不是多项式函数。

对于函数(g) $ f_7 = \log_2(n) \cdot 2^n $，渐近上界是 $ O(2^n \log_2 n) $，不是多项式函数。

其中(a)、(d)和(e)是多项式函数，没有可忽略函数。

4、假设针对某个密码的最有效攻击的操作次数为 �(�) = �^(2�^(1/3))，其中 � 是密钥长度。为什么 �(�) 是次指数的，但不是关于 � 的多项式？计算当 � = 128、� = 1024 和 � = 2048 时的有效密钥长度 log₂(�(�))。

1. 解释 $f(n)$ 是次指数但非多项式的原因：
   - 多项式函数形式为 $f(n) = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + \ldots + a_1 n + a_0$，其中 $k$ 为非负整数，$a_i$ 为常数。而 $f(n) = e^{2n^{1/3}}$ 不能写成这种形式，所以不是多项式。
   - 指数函数一般形式是 $f(n) = e^n$（$e > 1$），次指数函数增长速度慢于指数函数。对于 $f(n) = e^{2n^{1/3}}$，其指数部分是 $2n^{1/3}$，增长速度比 $n$ 慢，所以是次指数函数。

2. 计算有效密钥长度 $\log_2(f(n))$：
   - 当 $n = 128