5、计算机视觉中的数学方法与技术

计算机视觉中的数学方法与技术

在计算机视觉领域，涉及到众多复杂的数学概念和技术，这些方法为解决诸如三维重建、点集配准等问题提供了强大的工具。下面将详细介绍四元数、光学流估计以及点集配准等相关内容。

四元数

四元数是一种四维数，用 $H$ 表示，它是复数的扩展，增加了两个虚基元素。通常有三个虚基元素，分别用 $i$、$j$ 和 $k$ 表示，以及一个实基元素 $1$。其基本假设为：
$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$
一个四元数可以表示为一个四维向量：
$q = \begin{bmatrix}q_0 & q_1 & q_2 & q_3\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}q_0 \ \mathbf{v}\end{bmatrix}$
其中 $q_0$ 是实部，$\mathbf{v} = \begin{bmatrix}q_1 & q_2 & q_3\end{bmatrix}^T$ 是虚部。

给定两个四元数 $q_1 = \begin{bmatrix}q_{10} \ \mathbf{v} 1\end{bmatrix}$ 和 $q_2 = \begin{bmatrix}q {20} \ \mathbf{v} 2\end{bmatrix}$，它们的和与积的计算方式如下：
- 和：$q_1 + q_2 = \begin{bmatrix}q {10} + q_{20} \ \mathbf{v} 1 + \mathbf{v}_2\end{bmatrix}$
- 积：$q_1q_2 = \begi