23、降维技术中的数学原理与方法应用

降维技术中的数学原理与方法应用

1. 稀疏表达

在降维技术中，稀疏表达是一个重要的概念。通过对矩阵进行奇异值分解（SVD），可以得到一些关键的矩阵关系。对于矩阵$\tilde{\mathbf{X}}$，利用其SVD（式(D.1)），在式(D.4)中可以得到：
[
\mathbf{X} = \mathbf{U}\sqrt{\boldsymbol{\Sigma}}\mathbf{V}^{\top}\left(\tilde{\mathbf{X}}\mathbf{V}\mathbf{I}_{r\times d}\right)\mathbf{A}^{\top}
]
这样，矩阵$\mathbf{X}$和$\mathbf{A}$都可以仅通过矩阵$\mathbf{V}$，利用式(D.5)和$\mathbf{X} = \tilde{\mathbf{X}}\mathbf{A}^{\top}$（式(D.6)）来计算。

同时，还可以证明主成分分析（PCA）的矩阵形式和线性投影形式是等价的。具体来说，
[
\mathbf{XA} = \tilde{\mathbf{X}}\left(\mathbf{A}^{\top}\mathbf{V}\mathbf{I} {r\times d}\right)\left(\mathbf{A}\mathbf{I} {d\times r}\mathbf{V}^{\top}\right)=\mathbf{P}\mathbf{P}^{\top}
]
由此可得$\mathbf{P} = \mathbf{A}^{\top}$。这里，$\mathbf{P}$用于在嵌入空间基（或投影子空间的基）中进行投影，而