数据结构P4.2：二叉树的基本概念和存储结构

二叉树的定义和基本术语

• 定义：二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合；
  当n=0时，为空二叉树；
  由一个根节点和两个互不相交的称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树又分别是一颗二叉树
• 特点：
  1.每个结点至多只有两棵子树
  2.左右子树不能颠倒(二叉树是有序树)
  3.即使树中某个结点只有一棵树，也要区分它是左子树还是右子树。

区别于度为2的树：至少有一个结点有两棵子树

• 二叉树的五种状态
  1.空二叉树
  2.只有左子树的二叉树
  3.只有右子树的二叉树
  4.只有根节点的二叉树
  5.左右子树都有的二叉树

特殊的二叉树

斜树

左斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树。
右斜树：所有的结点都只有右子树的二叉树。

满二叉树

所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上的二叉树。

满二叉树特征

• 叶子结点只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达到平衡。
• 不存在度为1的结点，非叶子结点的度一定是2
• 根节点编号为1，依次从上到下，从左至右给结点编号。结点i
  的左孩子结点序号为2i，右孩子结点序号为2i+1。

完全二叉树

对于一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<=i&&i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同的二叉树。
完全二叉树特征

• 叶子结点只能出现在最下两层。
• 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
• 倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
• 如果结点度为1，则该节点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
• 同样结点的二叉树，完全二叉树的深度最小。

区分满二叉树和完全二叉树

满二叉树一定是完全二叉树。
完全二叉树不一定是满二叉树。

特征

• 只有最后两层可能有叶子结点
• 最多只有一个度为1的结点
• 根节点编号为1，依次从上到下，从左至右给结点编号。结点i
  的左孩子结点序号为2i，右孩子结点序号为2i+1。

二叉排序树

特征

• 左子树上所有结点的关键字均小于根节点的关键字
• 右子树上所有结点的关键字均大于根节点的关键字

应用
二叉排序树可用于元素的排序和搜索

平衡二叉树

特征

• 树上任一结点的 左子树和右子树 的深度之差不超过1
• 有更高的搜索效率

二叉树的性质

• 叶子结点比二分结点多一个
• 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1）
• 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点(k>=1)。（注意是2^k后再减去1）
• 具有n个结点的完全二叉树的深度为：向下取整log2n+1;(注意，对x的向下取整就是取不大于x的最大整数)

二叉树的存储结构

二叉树的顺序存储

• 二叉树的顺序存储中，一定要把二叉树的结点编号与完全二叉树对应起来
• 缺点：容易造成内存的空间浪费，因此二叉树的顺序存储结构只适合存储完全二叉树

#define MaxSize 100

//二叉树结点结构体定义
struct TreeNode{
    ElemType value;                     //结点中的数据元素
    bool isEmpty;                       //结点是否为空
}；                     

//定义一个长度为MaxSize的数组t,用于静态顺序存储二叉树的各个结点
//如何布局存储？按照从上至下、从左至右的顺粗依次存储完二叉树的各个结点
TreeNode t[MaxSize];

//初始化
void IniTree(TreeNode t[MaxSize]){
    for(int i=0;i<MaxSize;i++){
        t[i].isEmpty=true;              /*初始化时所有结点标记为空*/
    }
}

二叉树的链式存储

//二叉树的链式存储
struct ElemType{
    int value;                          /*结点上的数据结构*/
}

typedef struct BiTNode{
    ElemType data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    /*左右子结点*/
}BiTNode,*BiTree;

//定义一棵树 从根节点开始
BiTree root=NULL;

//插入根结点
root = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));  /*申请内存空间给根节点*/
root->data={1};
root->lchild=NULL;
root->rchild=NULL;

//插入新的结点p
BiTNode *p =(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
p->data={2};
p>lchild=NULL;
p->rchild=NULL;
root->lchild=p;                         /*新的结点p为根节点的左孩子*/

//插入新的结点q
BiTNode *q =(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
q->data={3};
q>lchild=NULL;
q->rchild=NULL;
root->rchild=q;                         /*新的结点p为根节点的左孩子*/